2^{\underline{a}} Questão ( \mathbf{1 0} pts) Calcule as seguintes integrais indefinidas: \int \frac{x^{3}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{3}}{\bigl(1+x^{2}\bigr)^{2}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é manipular o integrando por decomposição algébrica e, em seguida, usar técnicas básicas de integração (logaritmo e substituição).
Voltando à soma das duas integrais e reunindo as constantes em uma só, obtemos
\int \frac{x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}\,dx =\frac12\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) \;-\;\Bigl(-\frac{1}{2(1+x^{2})}\Bigr) + C =\frac12\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) +\frac{1}{2\,(1+x^{2})} + C.
Resposta
\boxed{ \int \frac{x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}\,dx =\frac12\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) +\frac{1}{2\,(1+x^{2})} + C. }