2^{\underline{a}} Questão ( \mathbf{1 0} pts) Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \frac{x^{3}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{3}}{\bigl(1+x^{2}\bigr)^{2}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é manipular o integrando por decomposição algébrica e, em seguida, usar técnicas básicas de integração (logaritmo e substituição).

Passo 2

Observe que dá para escrever
x^{3} \;=\; x\,(1+x^{2}) \;-\; x,
logo
\frac{x^{3}}{(1+x^{2})^{2}} =\frac{x\,(1+x^{2})}{(1+x^{2})^{2}} \;-\;\frac{x}{(1+x^{2})^{2}} =\frac{x}{1+x^{2}} \;-\;\frac{x}{(1+x^{2})^{2}}.
Assim a integral se separa em duas partes:
\int \frac{x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}\,dx =\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx \;-\;\int \frac{x}{(1+x^{2})^{2}}\,dx.

Passo 3

Calcular
\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx.
Basta notar que a derivada de (1+x^{2}) é 2x. Logo, com u=1+x^{2} e du=2x\,dx, temos
\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx =\frac12\int \frac{du}{u} =\frac12\ln\bigl|u\bigr|+C =\frac12\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)+C_{1}.

Passo 4

Calcular
\int \frac{x}{(1+x^{2})^{2}}\,dx.
De novo use u=1+x^{2}, du=2x\,dx, então
\int \frac{x}{(1+x^{2})^{2}}\,dx =\frac12\int u^{-2}\,du =\frac12\bigl(-u^{-1}\bigr)+C =-\frac{1}{2\,u}+C_{2} =-\frac{1}{2\,(1+x^{2})}+C_{2}.

Passo 5

Voltando à soma das duas integrais e reunindo as constantes em uma só, obtemos
\int \frac{x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}\,dx =\frac12\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) \;-\;\Bigl(-\frac{1}{2(1+x^{2})}\Bigr) + C =\frac12\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) +\frac{1}{2\,(1+x^{2})} + C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}\,dx =\frac12\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) +\frac{1}{2\,(1+x^{2})} + C. }

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