Provar as Formulas forall confuntos A, B, C, usando que D=F Leftrightarrow D subseteq F & F subseteq D.
A subseteq B Leftrightarrow A cup B=B Leftrightarrow A cap B=A;

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, para quaisquer conjuntos A e B,
A subseteq B ;Long<=ftrightarrow; A cup B = B ;Long<=ftrightarrow; A cap B = A
e lembra que duas partes são iguais se, e somente se, cada uma está contida na outra.

Passo 2

Provar A subseteq B implies A cup B = B.
Para isso, usamos a definição de igualdade de conjuntos: devemos mostrar
  1. A cup B subseteq B. Se x in A cup B, então xin A ou xin B. Mas, como A subseteq B, do caso xin A segue xin B. Logo em ambos os casos xin B.
  2. B subseteq A cup B. Se x in B, então trivialmente xin A cup B.
    Concluímos Acup B=B.

Passo 3

Provar A cup B = B implies A subseteq B.
Como Asubseteq Acup B para todo A,B, e sabemos Acup B=B, segue imediatamente Asubseteq B.

Passo 4

Portanto mostramos
A subseteq B ;Long<=ftrightarrow; A cup B = B

Passo 5

Provar A subseteq B implies A cap B = A.
De novo pela definição de igualdade, precisamos
  1. A cap B subseteq A. Se xin Acap B, então xin A por definição de interseção.
  2. A subseteq A cap B. Se xin A e Asubseteq B, então xin B, logo xin Acap B.
    Assim Acap B=A.

Passo 6

Provar A cap B = A implies A subseteq B.
Se xin A então, como A = Acap B, temos xin Acap B, o que implica xin B. Logo Asubseteq B.

Passo 7

Portanto também mostramos
A subseteq B ;Long<=ftrightarrow; A cap B = A

Resposta

A subseteq B ;Long<=ftrightarrow; A cup B = B ;Long<=ftrightarrow; A cap B = A

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