Resolva as seguintes integrais:
integral(1+x) cdot raiz2 x+x^2 d x

Passo 1

Temos a integral integral(1+x)raiz2x+x^2,dx. O conteúdo aqui é integração por substituição, já que temos uma expressão composta dentro da raiz e um fator exterior que facilita essa técnica.

Passo 2

Repare que 2x+x^2 = (x+1)^2 - 1. Isso sugere a substituição t = x+1, de modo que dt = dx e raiz2x+x^2 = raizt^2-1.
Com essa troca a integral fica
integral(1+x)raiz2x+x^2,dx = integral traizt^2-1,dt

Passo 3

Para resolver integral traizt^2-1,dt, fazemos a substituição auxiliar v = t^2-1, daí dv = 2t,dt ou t,dt = dv2. A integral passa a ser
integral traizt^2-1,dt = 12integral v^1/2,dv

Passo 4

Integrando em v obtemos
12cdotv^3/23/2 + C = 13v^3/2 + C

Passo 5

Voltando às variáveis originais: v = t^2-1 = (x+1)^2-1 = x^2+2x. Então o resultado final é
13(x^2+2x)^3/2 + C

Resposta

(x^2+2x)^3/23 + C

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