Obter a solução da Equação Diferencial do Calor
k partial^2 u(x, t)partial x^2=partial u(x, t)partial t , k>0, 00
ll u(0, t)=0 & u(pi, t)=0 u(x, 0)=x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do calor juntos! O enunciado pede para encontrar a solução da equação:
k partial^2 u(x, t)partial x^2 = partial u(x, t)partial t, k>0, 00
Além disso, temos as condições de contorno:
u(0, t) = 0 e u(pi, t) = 0
E a condição inicial:
u(x, 0) = x^2
Vamos usar conceitos de separação de variáveis e séries de Fourier para resolver isso. Precisaremos entender como separar as variáveis x e t, encontrar as soluções espaciais (funções próprias) e depois expandir a condição inicial em termos dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como um produto de uma função de x e outra de t:
u(x, t) = X(x) cdot T(t)
Substituindo isso na equação do calor:
k cdot X''(x) cdot T(t) = X(x) cdot T'(t)
Dividindo ambos os lados por X(x) cdot T(t):
k X''(x)X(x) = T'(t)T(t) = -lambda
Aqui, lambda é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinárias:
  1. Espaço:
X''(x) + lambdak X(x) = 0
  1. Tempo:
T'(t) = -lambda T(t)

Passo 3

Vamos resolver a equação espacial primeiro:
X''(x) + lambdak X(x) = 0
Com as condições de contorno X(0) = 0 e X(pi) = 0.
A solução geral dessa equação diferencial homogênea depende do sinal de lambdak. Para obter soluções não triviais, assumimos que lambdak = (npi)^2 onde n é um número inteiro positivo. Assim, a solução é:
Xn(x) = sin(n xpi pi) = sin(n x)
Onde n = 1, 2, 3, dots

Passo 4

Agora, resolvemos a equação temporal:
T'(t) = -lambda T(t)
Sabemos que lambda = (npi)^2 k, então:
T'(t) = -k (npi)^2 T(t)
A solução dessa equação diferencial é:
Tn(t) = e^-k (npi)^2 t

Passo 5

Agora, juntamos as soluções espaciais e temporais para formar a solução geral:
un(x, t) = sin(n x) cdot e^-k (npi)^2 t
A solução geral da equação do calor é uma soma infinita dessas soluções:
u(x, t) = sumn=1^infty Bn sin(n x) e^-k (npi)^2 t
Onde Bn são os coeficientes de Fourier que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial u(x, 0) = x^2:
x^2 = sumn=1^infty Bn sin(n x)
Para encontrar os coeficientes Bn, usamos a fórmula dos coeficientes de Fourier para funções ímpares (já que sin(n x) são funções ímpares e x^2 é par, precisamos ajustar isso). Porém, dado que x^2 é par e nossas funções próprias são ímpares, na verdade, devemos expandir usando a série de Fourier apropriada para uma função estendida de x^2 de maneira a satisfazer as condições de contorno.
Entretanto, seguindo o problema, podemos calcular os coeficientes Bn usando a integral:
Bn = 2pi integral0^pi x^2 sin(n x) dx

Passo 7

Calculamos a integral para encontrar Bn:
Bn = 2pi integral0^pi x^2 sin(n x) dx
Integrando por partes duas vezes, encontramos:
Bn = 4 (-1)^nn^2

Passo 8

Substituindo Bn na solução geral, temos:
u(x, t) = sumn=1^infty 4 (-1)^nn^2 sin(n x) e^-k (npi)^2 t

Resposta

A solução da equação diferencial do calor dada é:
u(x, t) = sumn=1^infty 4 (-1)^nn^2 sin(n x) e^-k (npi)^2 t

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