Obter a solução da Equação Diferencial do Calor
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do calor juntos! O enunciado pede para encontrar a solução da equação:
Além disso, temos as condições de contorno:
E a condição inicial:
Vamos usar conceitos de separação de variáveis e séries de Fourier para resolver isso. Precisaremos entender como separar as variáveis
e
, encontrar as soluções espaciais (funções próprias) e depois expandir a condição inicial em termos dessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como um produto de uma função de
e outra de
:
Substituindo isso na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinárias:
- Espaço:
- Tempo:
Passo 3
Vamos resolver a equação espacial primeiro:
Com as condições de contorno
e
.
A solução geral dessa equação diferencial homogênea depende do sinal de
. Para obter soluções não triviais, assumimos que
onde
é um número inteiro positivo. Assim, a solução é:
Onde
Passo 4
Agora, resolvemos a equação temporal:
Sabemos que
, então:
A solução dessa equação diferencial é:
Passo 5
Agora, juntamos as soluções espaciais e temporais para formar a solução geral:
A solução geral da equação do calor é uma soma infinita dessas soluções:
Onde
são os coeficientes de Fourier que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
:
Para encontrar os coeficientes
, usamos a fórmula dos coeficientes de Fourier para funções ímpares (já que
são funções ímpares e
é par, precisamos ajustar isso). Porém, dado que
é par e nossas funções próprias são ímpares, na verdade, devemos expandir usando a série de Fourier apropriada para uma função estendida de
de maneira a satisfazer as condições de contorno.
Entretanto, seguindo o problema, podemos calcular os coeficientes
usando a integral:
Passo 7
Calculamos a integral para encontrar
:
Integrando por partes duas vezes, encontramos:
Passo 8
Substituindo
na solução geral, temos:
Resposta
A solução da equação diferencial do calor dada é: