Obter a solução geral da EDO
y’’ -3 y^{\prime}+2 y=1-t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 3y' + 2y = 1 - t.
Para resolver, vamos primeiro obter a solução geral da equação homogênea associada e, em seguida, encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - 3y' + 2y = 0.
Achar suas soluções envolve resolver a equação característica
r^2 - 3r + 2 = 0.
Fatorando, obtemos
(r-1)(r-2)=0,
logo as raízes são r=1 e r=2. Dessa forma, a solução geral da homogênea é
y_h(t) = C_{1}e^{t} + C_{2}e^{2t}.

Passo 3

Para a parte não homogênea, o termo à direita é um polinômio de primeiro grau em t, então tentamos uma solução particular do tipo
y_p(t) = A\,t + B.
Calculamos as derivadas:
y_p' = A,\quad y_p'' = 0.
Substituindo em y'' - 3y' + 2y = 1 - t, vem
0 - 3A + 2(A\,t + B) = 1 - t.
Organizando em termos de t e constantes:
2A\,t + (2B - 3A) = -\,t + 1.
Igualando coeficientes de t e termos constantes, temos
2A = -1\quad\Rightarrow\quad A = -\tfrac12,
2B - 3A = 1\quad\Rightarrow\quad 2B - 3\bigl(-\tfrac12\bigr)=1\quad\Rightarrow\quad 2B + \tfrac32 =1\quad\Rightarrow\quad B = -\tfrac14.
Logo
y_p(t) = -\tfrac12\,t - \tfrac14.

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_{1}e^{t} + C_{2}e^{2t} - \tfrac12\,t - \tfrac14.

Resposta

y(t) = C_{1}e^{t} + C_{2}e^{2t} - \frac{t}{2} - \frac{1}{4}.

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