Verifique se F satisfaz a condição de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
dada por
satisfaz a condição de Laplace, ou seja, se
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 2
Calculemos a derivada parcial de primeira ordem em relação a
. Como
, temos
Logo, a derivada parcial de segunda ordem é
Passo 3
Agora calculemos a derivada parcial de primeira ordem em relação a
. Temos
Portanto, a derivada parcial de segunda ordem é
Passo 4
Somando as derivadas de segunda ordem, obtemos
Isso mostra que
satisfaz a equação de Laplace e, portanto, é uma função harmônica.
Resposta
A função
satisfaz a condição de Laplace, pois