Verifique se F satisfaz a condição de Laplace:
f(x, y)=x y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por
f(x,y)=x\,y
satisfaz a condição de Laplace, ou seja, se
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0.
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 2

Calculemos a derivada parcial de primeira ordem em relação a x. Como f(x,y)=x\,y, temos
\frac{\partial f}{\partial x} = y.
Logo, a derivada parcial de segunda ordem é
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y\bigr) = 0.

Passo 3

Agora calculemos a derivada parcial de primeira ordem em relação a y. Temos
\frac{\partial f}{\partial y} = x.
Portanto, a derivada parcial de segunda ordem é
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\bigr) = 0.

Passo 4

Somando as derivadas de segunda ordem, obtemos
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0 + 0 = 0.
Isso mostra que f satisfaz a equação de Laplace e, portanto, é uma função harmônica.

Resposta

A função f(x,y)=x\,y satisfaz a condição de Laplace, pois
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0.

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