Para obter os valores mais prováveis do raio da base de um cilindro e da sua altura foram efetuadas medições usando uma régua. Os dados estão dispostos na tabela abaixo.
1,90 13,80
2,10 13,92
2,05 14,00
2,00 13,95
2,00 14,05
a) Determine a média e o desvio padrão da média para o raio e para a altura .
b) A partir dos dados do item a) determine o volume do cilindro com sua incerteza obtida por propagação de erros.

Passo 1

O enunciado fornece cinco medições de ,R e cinco de ,H para um cilindro, e pede:
1. A média bar R e seu desvio padrão da média sbar R.
2. A média bar H e seu desvio padrão da média sbar H.
3. A seguir, o volume V=pi R^2H com incerteza por propagação de erros, usando De<a R=sbar R e De<a H=sbar H.

Passo 2

Para o raio R:
bar R = 15sumi=1^5 Ri = 1,90 + 2,10 + 2,05 + 2,00 + 2,005 = 2,01 cm
O desvio padrão amostral é
sR = raiz15-1sumi=1^5 (Ri - bar R)^2 = raiz0,02204 = 0,0742 cm,
e o desvio padrão da média (erro em bar R) é
sbar R = sRraiz5 = 0,0742raiz5 = 0,0332 cm

Passo 3

Para a altura H:
bar H = 15sumi=1^5 Hi = 13,80 + 13,92 + 14,00 + 13,95 + 14,055 = 13,944 cm
O desvio padrão amostral é
sH = raiz15-1sumi=1^5 (Hi - bar H)^2 = raiz0,035724 = 0,0945 cm,
e o desvio padrão da média é
sbar H = sHraiz5 = 0,0945raiz5 = 0,0423 cm

Passo 4

O volume de um cilindro é
V = pi R^2 H
Para propagação de erros (supondo R e H independentes), usamos
De<a V = raizl(partial Vpartial R,De<a Rr)^2 + l(partial Vpartial H,De<a Hr)^2,
onde
partial Vpartial R = 2pi R H, partial Vpartial H = pi R^2, De<a R = sbar R, De<a H = sbar H

Passo 5

Substituindo bar R=2,01, bar H=13,944, De<a R=0,0332, De<a H=0,0423:
V = pi ,(2,01)^2 ,(13,944) approx 176,9 cm^3
partial Vpartial R,De<a R = l(2picdot2,01cdot13,944r),0,0332 approx 5,85, partial Vpartial H,De<a H = l(picdot(2,01)^2r),0,0423 approx 0,54
Logo
De<a V = raiz5,85^2 + 0,54^2 approx 5,9 cm^3

Resposta

bar R = 2,01 pm 0,03 cm
bar H = 13,944 pm 0,042 cm
V = (176,9 pm 5,9) c m^3

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