use o resultado do Problema 28 para encontrar a transformada de Laplace da função dada;
e
são números reais e
é um inteiro positivo.
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função
.
Dados fornecidos: ,
(observe que
não aparece em
e, portanto, é irrelevante para este problema), e
(inteiro positivo).
Pergunta explícita: calcular usando o resultado do Problema 28.
Dados fornecidos:
Pergunta explícita: calcular
Passo 2
Primeiro, lembro o que é a transformada de Laplace: para uma função
definida em
,
onde
é a variável complexa (na prática, precisamos de
grande o suficiente para garantir convergência da integral). Aqui vou aplicar essa definição à nossa
.
Passo 3
O resultado do Problema 28 que vamos usar é a fórmula padrão para potências inteiras:
válida para
.
Uma justificativa rápida (indução por partes): para temos
. Supondo
, integramos por partes para
:
Uma justificativa rápida (indução por partes): para
Isso fecha a indução.
Passo 4
Agora uso o teorema do deslocamento exponencial (shifting theorem): para qualquer função
cuja transformada exista como
, vale
desde que
esteja na região de convergência de
. A demonstração é imediata pela própria definição:
Passo 5
Aplicando o teorema do deslocamento à função
, cuja transformada é
, obtemos
Sobre a região de convergência: como
exige
, aqui precisamos de
, isto é,
.
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar:
- Se
, . - Se
, .
Isso ajuda a reconhecer o padrão na hora da prova. Força aí — com essa regra você resolve rapidinho casos com potências multiplicadas por exponenciais.
Resposta
válido para
.