(3) (3 ptos) Sejam
e
subespaços vetoriais de
com as seguintes propriedades:
(a)
,
(b)
e
.
Podemos concluir que
?
? Justifique sua resposta.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado diz que
são subespaços de
tais que
-
, -
e .
O que nos pedem é:
(a) se necessariamente;
(b) se necessariamente.
Para resolver vamos usar a fórmula de dimensão para soma de subespaços:
Passo 2
Aplicando a fórmula à soma
temos
Como
e também
, análogo:
Passo 3
Das duas igualdades obtemos
Como
, segue imediatamente
Passo 4
Para ver que mesmo com essas hipóteses não é preciso
, basta um contraexemplo em
. Por exemplo, escolha uma base
de
e defina
Então
-
, -
, logo e idem para .
Mas claramenteporque contém o vetor .
Resposta
Não podemos concluir que
, mas de fato
.