(3) (3 ptos) Sejam W_{1} W_{2} e W_{3} subespaços vetoriais de \mathbb{R}^{5} com as seguintes propriedades:
(a) W_{1} \cap W_{2}=W_{1} \cap W_{3},
(b) W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{5} e W_{1}+W_{3}=\mathbb{R}^{5}.
Podemos concluir que W_{2}=W_{3} ? \operatorname{dim}\left(W_{2}\right)=\operatorname{dim}\left(W_{3}\right) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado diz que W_{1},W_{2},W_{3} são subespaços de \mathbb{R}^{5} tais que
  1. \;W_{1}\cap W_{2}=W_{1}\cap W_{3},
  2. \;W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{5} e W_{1}+W_{3}=\mathbb{R}^{5}.
    O que nos pedem é:
    (a) se necessariamente W_{2}=W_{3};
    (b) se necessariamente \dim(W_{2})=\dim(W_{3}).
    Para resolver vamos usar a fórmula de dimensão para soma de subespaços:
\dim(U+V)=\dim U+\dim V-\dim(U\cap V).

Passo 2

Aplicando a fórmula à soma W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{5} temos
\dim(W_{1}+W_{2}) =\dim W_{1}+\dim W_{2}-\dim(W_{1}\cap W_{2}) =5.
Como W_{1}\cap W_{2}=W_{1}\cap W_{3} e também W_{1}+W_{3}=\mathbb{R}^{5}, análogo:
\dim(W_{1}+W_{3}) =\dim W_{1}+\dim W_{3}-\dim(W_{1}\cap W_{3}) =5.

Passo 3

Das duas igualdades obtemos
\dim W_{1}+\dim W_{2}-\dim(W_{1}\cap W_{2}) =\dim W_{1}+\dim W_{3}-\dim(W_{1}\cap W_{3}).
Como \dim(W_{1}\cap W_{2})=\dim(W_{1}\cap W_{3}), segue imediatamente
\dim W_{2}=\dim W_{3}.

Passo 4

Para ver que mesmo com essas hipóteses não é preciso W_{2}=W_{3}, basta um contraexemplo em \mathbb{R}^{5}. Por exemplo, escolha uma base \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5}\} de \mathbb{R}^{5} e defina
W_{1}=\operatorname{span}\{e_{1},e_{2},e_{3}\},\quad W_{2}=\operatorname{span}\{e_{4},e_{5}\},\quad W_{3}=\operatorname{span}\{\,e_{4}+e_{1},\;e_{5}\}.
Então
  • W_{1}\cap W_{2}=\{0\}=W_{1}\cap W_{3},
  • \dim W_{1}=3,\;\dim W_{2}=2,\;\dim W_{3}=2, logo \dim(W_{1}+W_{2})=3+2-0=5 e idem para W_{1}+W_{3}.
    Mas claramente W_{2}\neq W_{3} porque W_{3} contém o vetor e_{4}+e_{1}\notin W_{2}.

Resposta

Não podemos concluir que W_{2}=W_{3}, mas de fato \dim(W_{2})=\dim(W_{3}).

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