O (2) (3 ptos) Seja o conjunto
S=\left\{B=\left(b_{i j}\right) \in M(n, n) \mid b_{11}+b_{22}+b_{33}+\cdots+b_{n n}=0\right\} .
Determine se S é um subespaço vetorial de M(n, n), caso seja possível encontre uma base para S.

Passo 1

O enunciado define
S = \{B=(b_{ij})\in M(n,n)\mid b_{11}+b_{22}+\cdots+b_{nn}=0\}
e pede para verificar se S é subespaço de M(n,n) e, em caso afirmativo, indicar uma base de S. O conteúdo necessário é o critério de subespaço vetorial e a construção de uma base para o hiperplano definido pela condição \operatorname{tr}(B)=0.

Passo 2

Mostramos que S é não-vazio e fechado em relação à adição e à multiplicação escalar.
  1. O escalar zero-matriz O tem \operatorname{tr}(O)=0, logo O\in S.
  2. Se A,B\in S então
\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)=0+0=0,
logo A+B\in S.
3. Para \alpha\in\mathbb{R} e A\in S temos
\operatorname{tr}(\alpha A)=\alpha\,\operatorname{tr}(A)=\alpha\cdot0=0,
logo \alpha A\in S.
Pelas propriedades acima, S é de fato um subespaço vetorial de M(n,n).

Passo 3

Sabemos que \dim M(n,n)=n^2 e que a condição \operatorname{tr}(B)=0 é uma única equação linear, definindo um hiperplano de dimensão
\dim S = n^2 - 1.

Passo 4

Para construir uma base de S, separamos em duas partes:
  1. Matrizes canônicas fora da diagonal:
    \{E_{ij}\mid 1\le i,j\le n,\;i\neq j\}, que são (n^2-n) vetores.
  2. Matrizes diagonais com soma zero: basta n-1 vetores, por exemplo
D_k = E_{kk} - E_{k+1,k+1}, \quad k=1,2,\dots,n-1.
No total temos (n^2-n)+(n-1)=n^2-1 vetores. Esses vetores são linearmente independentes e geram todo S, pois qualquer matriz de traço zero pode ser escrita somando adequadamente os E_{ij} (para ajustar entradas fora da diagonal) e os D_k (para ajustar as entradas diagonais mantendo soma zero).

Resposta

Sim, S é subespaço vetorial de M(n,n).
Uma base de S é
\{\,E_{ij}\mid i\neq j\}\;\cup\;\{\,E_{11}-E_{22},\,E_{22}-E_{33},\,\dots,\,E_{n-1,n-1}-E_{nn}\}.

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