O (2) (3 ptos) Seja o conjunto
Determine se
é um subespaço vetorial de
, caso seja possível encontre uma base para
.
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar se
é subespaço de
e, em caso afirmativo, indicar uma base de
. O conteúdo necessário é o critério de subespaço vetorial e a construção de uma base para o hiperplano definido pela condição
.
Passo 2
Mostramos que
é não-vazio e fechado em relação à adição e à multiplicação escalar.
- O escalar zero-matriz
tem , logo . - Se
então
logo
.
3. Para e
temos
3. Para
logo
.
Pelas propriedades acima, é de fato um subespaço vetorial de
.
Pelas propriedades acima,
Passo 3
Sabemos que
e que a condição
é uma única equação linear, definindo um hiperplano de dimensão
Passo 4
Para construir uma base de
, separamos em duas partes:
- Matrizes canônicas fora da diagonal:
, que são vetores. - Matrizes diagonais com soma zero: basta
vetores, por exemplo
No total temos
vetores. Esses vetores são linearmente independentes e geram todo
, pois qualquer matriz de traço zero pode ser escrita somando adequadamente os
(para ajustar entradas fora da diagonal) e os
(para ajustar as entradas diagonais mantendo soma zero).
Resposta
Sim,
é subespaço vetorial de
.
Uma base de é
Uma base de