Um pesquisador coletou dados de 8 estudantes sobre o número de horas estudadas para uma prova e a nota obtida (em uma escala de 0 a 10):
Horas estudadas ((x)) 1 3 4 5 6 7 9 12
Nota na prova ((y)) 3.5 4.5 5.0 6.0 5.5 7.0 8.0 9.0
Calcule o coeficiente de correlação de Pearson entre horas estudadas e nota.
Determine a equação da reta de regressão linear.
Estime a nota de um estudante que estudou 8 horas.
Estime quantas horas seriam necessárias para obter nota 6.0.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
  1. Calcular o coeficiente de correlação de Pearson entre horas estudadas e nota.
  2. Determinar a equação da reta de regressão linear (previsão de y a partir de x).
  3. Estimar a nota ( y) para um estudante que estudou 8 horas.
  4. Estimar quantas horas ( x) são necessárias para obter nota 6{,}0.
Os dados dados na tabela (peguei os valores da tabela do enunciado) são, para n=8 observações:
\begin{array}{c|cccccccc} x\\ (\text{horas}) & 1 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 9 & 12\\hline y\\ (\text{nota}) & 3{,}5 & 4{,}5 & 5{,}0 & 6{,}0 & 5{,}5 & 7{,}0 & 8{,}0 & 9{,}0 \end{array}

Passo 2

Calcular somas e médias — passo essencial antes de qualquer fórmula.
Definir:
n=\text{nº de pares} = 8.º
Somar x, y, x^2 e xy (usei os valores da tabela):
\sum x = 1+3+4+5+6+7+9+12 = 47,
\sum y = 3{,}5+4{,}5+5{,}0+6{,}0+5{,}5+7{,}0+8{,}0+9{,}0 = 48{,}5,
\sum x^2 = 1^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+9^2+12^2 = 361,
\sum xy = 1\cdot3{,}5 + 3\cdot4{,}5 + 4\cdot5{,}0 + 5\cdot6{,}0 + 6\cdot5{,}5 + 7\cdot7{,}0 + 9\cdot8{,}0 + 12\cdot9{,}0 = 329.
Médias:
\bar{x}=\frac{\sum x}{n}=\frac{47}{8}=5{,}875, \qquad \bar{y}=\frac{\sum y}{n}=\frac{48{,}5}{8}=6{,}0625.

Passo 3

Calcular as quantidades necessárias para correlação e regressão (as fórmulas e o que cada símbolo significa):
  • S_{xx}=\sum (x_i-\bar{x})^2 = \sum x^2 - n\bar{x}^2. Aqui S_{xx} é a variação total em x.
  • S_{yy}=\sum (y_i-\bar{y})^2 = \sum y^2 - n\bar{y}^2. (vou calcular \sum y^2 abaixo)
  • S_{xy}=\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = \sum xy - n\bar{x}\bar{y}. (covariância multiplicada por n)
Calcule \sum y^2 (usei os y da tabela):
\sum y^2 = 3{,}5^2+4{,}5^2+5^2+6^2+5{,}5^2+7^2+8^2+9^2 = 317{,}75.
Agora S_{xx},S_{yy},S_{xy}:
S_{xx} = \sum x^2 - n\bar{x}^2 = 361 - 8\cdot(5{,}875)^2 = 361 - 276{,}125 = 84{,}875,
S_{yy} = \sum y^2 - n\bar{y}^2 = 317{,}75 - 8\cdot(6{,}0625)^2 = 317{,}75 - 294{,}03125 = 23{,}71875,
S_{xy} = \sum xy - n\bar{x}\bar{y} = 329 - 8\cdot(5{,}875)(6{,}0625) = 329 - 284{,}9375 = 44{,}0625.

Passo 4

Coeficiente de correlação de Pearson — explicar a fórmula e o significado:
A fórmula de Pearson mede força e direção linear entre x e y:
r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}}.
Aqui r varia entre -1 e 1. Valores próximos de 1 indicam forte correlação positiva.
Calcule numericamente:
r = \frac{44{,}0625}{\sqrt{84{,}875\cdot 23{,}71875}} \approx \frac{44{,}0625}{44{,}8679}\approx 0{,}9818.
Interpretação rápida (para a prova): r\approx 0{,}982 indica uma correlação linear positiva muito forte entre horas estudadas e nota.

Passo 5

Equação da reta de regressão linear (prever \hat{y} a partir de x) — fórmula e significado:
Para regressão linear simples usa-se
\hat{y} = \beta_0 + \beta_1 x,
onde
\beta_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} \qquad\text{(declive ou coeficiente angular, representa a variação esperada em \(y\) para cada unidade de \(x\))},çã
\beta_0 = \bar{y} - \beta_1\bar{x} \qquad\text{(intercepto, valor previsto de \(y\) quando \(x=0\))}.
Calcule \beta_1 e \beta_0:
\beta_1 = \frac{44{,}0625}{84{,}875}\approx 0{,}5191475,
\beta_0 = 6{,}0625 - 0{,}5191475\cdot 5{,}875 \approx 6{,}0625 - 3{,}04999 \approx 3{,}01251.
Portanto a equação da reta (arredondando para apresentação):
\hat{y} \approx 3{,}0125 + 0{,}5191\,x.

Passo 6

Estimativa da nota para x=8 horas — aplicar a reta:
\hat{y}(8) = 3{,}0125 + 0{,}5191475\cdot 8 \approx 3{,}0125 + 4{,}15318 \approx 7{,}16568.
Arredondando, a previsão da nota é aproximadamente 7{,}17.

Passo 7

Estimativa de x necessária para obter y=6{,}0 — inverter a equação da reta:
Resolver 6{,}0 = \beta_0 + \beta_1 x para x:
x = \frac{6{,}0 - \beta_0}{\beta_1} = \frac{6{,}0 - 3{,}01251}{0{,}5191475} \approx \frac{2{,}98749}{0{,}5191475} \approx 5{,}7545.
Logo são necessárias aproximadamente 5{,}75 horas de estudo para obter nota 6{,}0 segundo este modelo.

Resposta

\displaystyle r\approx 0{,}9818
\displaystyle \hat{y}\approx 3{,}0125 + 0{,}5191\,x
\displaystyle \hat{y}(8)\approx 7{,}17
\displaystyle x\approx 5{,}75\\ \text{horas (para }y=6{,}0\text{)}

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