óleo cru é bombeado a 1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} através de uma tubulação. Se o fluxo é de 1 \mathrm{ft}^{3} / \mathrm{min} nas condições normais de pressão e temperatura ( 1 \mathrm{~atm}, 0{ }^{\circ} \mathrm{C} ). Acima de que valor de viscosidade do óleo o escoamento seria laminar? De sua resposta no SI, Sistema inglês e CGS. Considere a densidade do óleo de 800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado diz que óleo cru de densidade \rho=800\:\mathrm{kg/m^3} é bombeado a velocidade média v=1,5\:\mathrm{m/s} por uma tubulação, e que o fluxo volumétrico é Q=1\:\mathrm{ft^3/min} (condições normais). Ele pede: acima de que valor de viscosidade dinâmica \mu o escoamento permanece laminar (isto é, número de Reynolds Re<2300)? Vamos usar:
  1. Cálculo da área e do diâmetro a partir de Q e v.
  2. Definição de Reynolds \displaystyle Re=\frac{\rho\,v\,D}{\mu}.
  3. Resolver \mu>\rho v D/2300.
  4. Converter o resultado para SI, CGS (Poise) e Sistema Inglês (slug/(f t\cdot s)).

Passo 2

Convertemos o fluxo para SI e determinamos a área da seção transversal:
Q = 1\:\mathrm{ft^3/min} = \frac{0,0283168\:\mathrm{m^3}}{60\:\mathrm{s}} =4{,}7195\times10^{-4}\:\mathrm{m^3/s}.
Como Q = A\,v,
A = \frac{Q}{v} = \frac{4{,}7195\times10^{-4}}{1{,}5} =3{,}1463\times10^{-4}\:\mathrm{m^2}.
O diâmetro D satisfaz A = \pi D^2/4, logo
D = \sqrt{\frac{4A}{\pi}} =\sqrt{\frac{4\,(3{,}1463\times10^{-4})}{\pi}} \approx0{,}02000\:\mathrm{m}.

Passo 3

Para escoamento laminar precisamos de Re<2300, com
Re = \frac{\rho\,v\,D}{\mu}.
Reorganizando, a condição \mu>\rho\,v\,D/2300 dá o valor mínimo de \mu para manter laminaridade.

Passo 4

Calculamos em SI:
\mu_{\min} =\frac{\rho\,v\,D}{2300} =\frac{800\:\mathrm{kg/m^3}\cdot1{,}5\:\mathrm{m/s}\cdot0{,}02000\:\mathrm{m}}{2300} \approx0{,}01044\:\mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 5

Em CGS, usa-se Poise onde 1\:\mathrm{Pa\cdot s}=10\:\mathrm{P}.
\mu_{\min} \approx0{,}01044\:\mathrm{Pa\cdot s} \;\times10\:\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Pa\cdot s}} =0{,}1044\:\mathrm{P}.

Passo 6

No Sistema Inglês de unidades a viscosidade dinâmica se expressa em \mathrm{slug/(ft\cdot s)}, sabendo que
1\:\mathrm{Pa\cdot s} =0{,}02088\:\mathrm{slug/(ft\cdot s)}.
Portanto
\mu_{\min} =0{,}01044\:\mathrm{Pa\cdot s} \times0{,}02088\:\frac{\mathrm{slug/(ft\cdot s)}}{\mathrm{Pa\cdot s}} \approx2{,}18\times10^{-4}\:\mathrm{slug/(ft\cdot s)}.

Resposta

Em SI: \mu>0{,}01044\:\mathrm{Pa\cdot s}
Em CGS: \mu>0{,}1044\:\mathrm{P}
No Sistema Inglês: \mu>2{,}18\times10^{-4}\:\mathrm{slug/(ft\cdot s)}

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