Um trocador de calor com 2 passes no casco e 4 nos tubos é utilizado para aquecer glicerina entre 20 e 50^{\circ} \mathrm{C}, com água quente que entra a 80^{\circ} \mathrm{C} nos tubos de parede fina de 2 cm de diâmetro e os deixa a 40^{\circ} \mathrm{C}. O comprimento total dos tubos no trocador de calor é 60 m . O coeficiente de transferência de calor por convecção é 25 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} no lado da glicerina (casco) e 160 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} no lado da água (tubos). Determine:
a) A taxa de transferência de calor caso os tubos sejam novos (sem incrustação). ( \boldsymbol{R}: \dot{\boldsymbol{q}}=\mathbf{1 8 3 0} \boldsymbol{W} )
b) A taxa de transferência de calor considerando que os tubos apresentem um fator de incrustação de 0,0006 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~K} / \mathrm{W} .(\boldsymbol{R}: \dot{\boldsymbol{q}}=\mathbf{1 8 0 5} \boldsymbol{W})

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados do enunciado:
  • Temperaturas:
    • Água (lado dos tubos, fluido quente): entrada T_{h,i}=80^\circ\mathrm{C}, saída T_{h,o}=40^\circ\mathrm{C}.
    • Glicerina (lado do casco, fluido frio): entrada T_{c,i}=20^\circ\mathrm{C}, saída T_{c,o}=50^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficientes convectivos:
    • Lado tubos (água): h_{t}=160\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
    • Lado casco (glicerina): h_{s}=25\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
  • Tubos: diâmetro de D=0{,}02\\ \mathrm{m} (tubos de parede fina).
  • Comprimento total dos tubos: L_{\text{total}}=60\\ \mathrm{m}.
  • Configuração: trocador com 2 passes no casco e 4 passes nos tubos (isso afeta o fator de correção F do LMTD).
  • Para a parte (b): fator de incrustação R_f=0{,}0006\\ \mathrm{m^{2}\,K\,W^{-1}}.
  • O que se pede:
    • (a) taxa de transferência de calor \dot q com tubos novos (sem incrustação).
    • (b) taxa de transferência de calor \dot q quando há incrustação com R_f dado.

Passo 2

Estratégia e fórmulas principais (explicadas como se estivéssemos na prova).
  • A taxa de transferência de calor de um trocador de calor largo em regime estacionário pode ser escrita como
\dot q = U\,A\,F\,\Delta T_{\text{lm}},
onde:
  • U é o coeficiente global de transferência de calor (referido à área usada),
  • A é a área de troca térmica (área externa dos tubos neste caso),
  • F é o fator de correção do LMTD (corrige o LMTD de um caso real para o correspondente de contracorrente),
  • \Delta T_{\text{lm}} é a diferença de temperatura logarítmica média para contracorrente (calculada entre os extremos de temperatura).
  • Vamos calcular A, U, \Delta T_{\text{lm}} e F (esse último obtido por meio do gráfico/tabela padrão para trocadores com 2 passes no casco e 4 nos tubos). Depois aplicamos a equação acima.
  • Observação: as temperaturas do enunciado mostram que o fluido quente é a água e o frio é a glicerina; as variações dadas confirmam balanço de energia (calor perdido pela água = calor ganho pela glicerina), portanto a fórmula LMTD aplica-se diretamente com os extremos mostrados.

Passo 3

Cálculo da área de troca térmica A.
  • Área externa total dos tubos (assumindo tubos de parede fina; usamos o diâmetro informado D e o comprimento total somado de todos os tubos L_{\text{total}}):
A = \pi D L_{\text{total}}.
  • Substituindo os valores:
A = \pi \cdot 0{,}02 \cdot 60 = \pi \cdot 1{,}2 \approx 3{,}7699\\ \mathrm{m^2}.

Passo 4

Cálculo do coeficiente global de transferência de calor U para o caso sem incrustação.
  • Modelo Resistências térmicas em série (parecido com resistores elétricos): as resistências são a convecção no lado dos tubos, a convecção no lado do casco e eventuais resistências de incrustação e da parede do tubo. Como a parede é fina podemos desprezar a resistência de condução da parede. Assim:
\frac{1}{U} = \frac{1}{h_{t}} + \frac{1}{h_{s}} + R_f,
onde R_f é a resistência de incrustação por unidade de área (para (a) R_f=0).
  • Para tubos novos ( R_f=0):
\frac{1}{U} = \frac{1}{160} + \frac{1}{25} = 0{,}00625 + 0{,}04 = 0{,}04625\\ \mathrm{(m^2\,K\,W^{-1})}.
U = \frac{1}{0{,}04625} \approx 21{,}6216\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.

Passo 5

Cálculo da diferença de temperatura logarítmica média \Delta T_{\text{lm}} (base contracorrente).
  • Para o trocador consideramos a diferença nas extremidades:
    • \Delta T_1 = T_{h,i} - T_{c,o} = 80^\circ\mathrm{C} - 50^\circ\mathrm{C} = 30^\circ\mathrm{C}.
    • \Delta T_2 = T_{h,o} - T_{c,i} = 40^\circ\mathrm{C} - 20^\circ\mathrm{C} = 20^\circ\mathrm{C}.
  • A fórmula do LMTD (contracorrente) é
\Delta T_{\text{lm}} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}.
  • Substituindo:
\Delta T_{\text{lm}} = \frac{30 - 20}{\ln\!\left(\dfrac{30}{20}\right)} = \frac{10}{\ln(1{,}5)} \approx \frac{10}{0{,}405465} \approx 24{,}664\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Determinação do fator de correção F para um trocador com 2 passes no casco e 4 passes nos tubos.
  • Explicação: o LMTD calculado no passo anterior é o valor para um trocador de contracorrente ideal. Em trocadores com múltiplos passes o perfil de temperatura difere do caso ideal, por isso se usa um fator de correção F tal que a diferença de temperatura efetiva seja F\Delta T_{\text{lm}}.
  • O fator F depende de parâmetros adimensionais normalmente chamados P e R, definidos por (forma usual):
R = \frac{T_{h,i}-T_{h,o}}{T_{c,o}-T_{c,i}}, \qquad P = \frac{T_{c,o}-T_{c,i}}{T_{h,i}-T_{c,i}}.
  • Calculando R e P com os valores fornecidos:
R = \frac{80-40}{50-20} = \frac{40}{30} = \frac{4}{3} \approx 1{,}3333,
P = \frac{50-20}{80-20} = \frac{30}{60} = 0{,}5.
  • Para a configuração específica (2 passes no casco, 4 passes nos tubos) existe um gráfico/tabela padrão (Kays & London ou tabelas de correção de LMTD) que dá F como função de P e R. Consultando esse gráfico/tabela para R\approx1{,}333 e P=0{,}5 para a configuração 2\times4 obtém-se aproximadamente
F \approx 0{,}91.
  • Observação didática rápida: se não houver o gráfico à mão, em provas costuma-se fornecer ou permitir o uso da tabela; aqui usamos o valor tabelado/experimental que corresponde à configuração pedida.

Passo 7

Cálculo da taxa de transferência de calor \dot q para tubos novos (caso (a)).
  • Primeiro, produto U\,A:
U A \approx 21{,}6216 \times 3{,}7699 \approx 81{,}54\\ \mathrm{W\,K^{-1}}.
  • Aplicando a fórmula completa:
\dot q = U A F \Delta T_{\text{lm}} \approx 81{,}54 \times 0{,}91 \times 24{,}664.
  • Fazendo as contas (passo a passo):
    • 81{,}54 \times 0{,}91 \approx 74{,}187\\ \mathrm{W\,K^{-1}},
    • 74{,}187 \times 24{,}664 \approx 1829{,}7\\ \mathrm{W}.
  • Arredondando para o valor prático:
\dot q \approx 1830\\ \mathrm{W},
que é o resultado pedido para (a).

Passo 8

Cálculo para o caso com incrustação (parte (b), R_f=0{,}0006\\ \mathrm{m^2\,K\,W^{-1}}).
  • Agora incluir R_f na soma das resistências:
\frac{1}{U_{\text{sujo}}} = \frac{1}{160} + \frac{1}{25} + 0{,}0006 = 0{,}04625 + 0{,}0006 = 0{,}04685\\ \mathrm{m^2\,K\,W^{-1}}.
U_{\text{sujo}} = \frac{1}{0{,}04685} \approx 21{,}342\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
  • Produto U_{\text{sujo}} A:
U_{\text{sujo}} A \approx 21{,}342 \times 3{,}7699 \approx 80{,}42\\ \mathrm{W\,K^{-1}}.
  • Mantendo o mesmo F (a configuração geométrica e as temperaturas não mudaram), calcula-se:
\dot q_{\text{sujo}} = U_{\text{sujo}} A F \Delta T_{\text{lm}} \approx 80{,}42 \times 0{,}91 \times 24{,}664.
  • Cálculo numérico:
    • 80{,}42 \times 0{,}91 \approx 73{,}182,
    • 73{,}182 \times 24{,}664 \approx 1805{,}0\\ \mathrm{W}.
  • Portanto:
\dot q_{\text{sujo}} \approx 1805\\ \mathrm{W},
que é o resultado pedido para (b).

Resposta

a) \dot q \approx 1830\\ \mathrm{W}
b) \dot q \approx 1805\\ \mathrm{W}

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