Óleo quente deve ser resfriado em um trocador de calor em contracorrente. Os tubos de cobre internos tem diâmetro de 2 cm e espessura desprezível. O diâmetro interno do tubo externo (casco) é de 3 cm . A água escoa através de um tubo a uma taxa de 0,5 kg / s e o óleo escoa através do casco a uma taxa de 0,8 kg / s. Considerando as temperaturas médias da água e do óleo como 45^circ C e 80^circ C, determine o coeficiente global de transferência de calor.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo! Temos um óleo quente que precisa ser resfriado usando um trocador de calor do tipo contracorrente. Pra isso, temos tubos de cobre e água passando pelos tubos internos e externos. A gente quer descobrir o coeficiente global de transferência de calor nesse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender como o calor é transferido entre o óleo e a água, usando conceitos de transferência de calor por convecção e a geometria dos tubos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que a gente tem:
  • Diâmetro interno do tubo de cobre (água): 2 cm
  • Diâmetro interno do tubo externo (casco para o óleo): 3 cm
  • Taxa de fluxo de água ($ \dot{m}_w $): 0,5 kg/s
  • Taxa de fluxo de óleo ($ \dot{m}_o $): 0,8 kg/s
  • Temperatura da água ($ T_w $): 45°C
  • Temperatura do óleo ($ T_o $): 80°C
Nosso objetivo é encontrar o coeficiente global de transferência de calor ($ U $).

Passo 3

Vamos relembrar a fórmula básica da transferência de calor em um trocador:
Q = U times A times De
Onde:
  • $ Q $ é a taxa de transferência de calor,
  • $ U $ é o coeficiente global de transferência de calor que queremos encontrar,
  • $ A $ é a área de transferência de calor,
  • $ \Delta T_{lm} $ é a diferença de temperatura logarítmica média.
Para isolar $ U $, a gente rearranja a fórmula:
Q

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a área de transferência de calor ($ A $). Como é um trocador de calor em contracorrente, a área é a superfície do tubo onde ocorre a troca de calor. A fórmula para a área de um cilindro é:
A
Onde:
  • $ D_m $ é o diâmetro médio,
  • $ L $ é o comprimento do tubo.
Mas o comprimento ($ L A = pi times Dm times L ããê Q $) pode ser encontrada usando a energia transferida pela água ou pelo óleo.

Passo 5

Vamos usar a equação da energia para a água:
Q = dotmw times Cp times De
Onde:
  • $ C_p $ é o calor específico da água (aproximadamente 4,18 kJ/kg°C),
  • $ \Delta T $ é a mudança de temperatura da água.
Como não sabemos a mudança de temperatura ($ \Delta T $), vamos supor que todo o calor perdido pelo óleo é ganho pela água, então:
Cp
Mas sem mais informações, fica complicado. Vamos simplificar e considerar que a diferença de temperatura média ($ \Delta T_{lm} $) pode ser calculada.

Passo 6

A diferença de temperatura logarítmica média ($ \Delta T_{lm} $) para um trocador de calor em contracorrente é dada por:
De
Sem as temperaturas de saída, não podemos calcular diretamente. Então, vamos adaptar nossa abordagem para encontrar o coeficiente global $ U $ usando as propriedades dos fluidos e a geometria dos tubos.

Passo 7

O coeficiente global de transferência de calor ($ U $) considera as resistências térmicas dos dois lados do troca-calor (água e óleo) e a resistência por condução através do tubo de cobre. A fórmula geral é:
U
Onde:
  • $ h_w $ é o coeficiente de convecção da água,
  • $ h_o $ é o coeficiente de convecção do óleo,
  • $ d $ é a espessura do tubo de cobre (desprezível, então essa parte vamos ignorar),
  • $ k $ é a condutividade térmica do cobre.
Como a espessura é desprezível, a fórmula simplifica para:
1U = 1hw + dk + 1ho

Passo 8

Agora, vamos precisar calcular os coeficientes de convecção ($ h_w $ e $ h_o $) usando as taxas de fluxo e as dimensões dos tubos.
A fórmula para $ h $ em fluxo forçado é:
hw
Onde:
  • $ Nusselt $ é o número de Nusselt,
  • $ k $ é a condutividade térmica do fluido,
  • $ D $ é o diâmetro hidráulico.
Os números de Nusselt podem ser estimados usando correlações para fluxo turbulento em tubos, como a correlação de Dittus-Boelter:
ho
Onde $ n = 0,4 $ para aquecimento.

Passo 9

Vamos calcular os números de Reynolds ($ Re $) para a água e o óleo:
Re
Onde:
  • $ \rho $ é a densidade do fluido,
  • $ v $ é a velocidade do fluido,
  • $ D $ é o diâmetro do tubo,
  • $ \mu $ é a viscosidade dinâmica do fluido.
Primeiro, necesitamos as propriedades da água e do óleo a 45°C e 80°C, respectivamente. Vamos supor valores típicos:
  • Água a 45°C:
    • $ \rho_w = 992 $ kg/m³
    • $ \mu_w = 0,00055 $ Pa·s
    • $ k_w = 0,632 $ W/m·K
    • $ C_{p,w} = 4,18 $ kJ/kg·K
  • Óleo a 80°C:
    • $ \rho_o = 850 $ kg/m³
    • $ \mu_o = 0,005 $ Pa·s
    • $ k_o = 0,15 $ W/m·K
    • $ C_{p,o} = 2,0 $ kJ/kg·K

Passo 10

Vamos calcular a velocidade dos fluidos nos tubos.
Primeiro, a área da seção transversal da água ($ A_w $):
Aw ²
Velocidade da água ($ v_w $):
Aw = pi times ( Dw2 )^2 = pi times ( 0,022 )^2 approx 3,14 times 10^-4 , m²
Área da seção transversal do óleo (( A_o \ )):
vw ²
Velocidade do óleo (( v_o \ )):
vw = dotmwrhow times Aw = 0,5992 times 3,14 times 10^-4 approx 1,6 , m/s

Passo 11

Agora, calculamos os números de Reynolds para água e óleo.
Para a água:
Rew = rhow times vw times Dwmuw = 992 times 1,6 times 0,020,00055 approx 57.812
Para o óleo:
Reo = rhoo times vo times Domuo = 850 times 1,34 times 0,030,005 approx 6.852

Passo 12

Com os números de Reynolds, podemos calcular os números de Nusselt usando a correlação de Dittus-Boelter:
Nu = 0,023 times Re^0,8 times Pr^0,4
Primeiro, precisamos dos números de Prandtl ($ Pr $):
Pr
Para a água:
Pr = Cp times muk
Para o óleo:
Prw = 4,18 times 0,000550,632 approx 0,0036
Agora, calculando $ Nu $:
Para a água:
Pro = 2,0 times 0,0050,15 approx 0,067
Para o óleo:
Nu

Passo 13

Vamos calcular os $ Nu $:
Para a água:
Nu
Para o óleo:
Nuw approx 0,023 times 126,89 times 0,215 approx 0,623

Passo 14

Agora, usamos os números de Nusselt para encontrar os coeficientes de convecção:
h = Nu times kD
Para a água:
hw = 0,623 times 0,6320,02 approx 19,7 , W/m²·K ²
Para o óleo:
ho = 0,188 times 0,150,03 approx 0,94 , W/m²·K ²

Passo 15

Agora, aplicamos a fórmula do coeficiente global:
1U = 1hw + 1ho = 119,7 + 10,94 approx 0,0508 + 1,0638 = 1,1146
Então,
U = 11,1146 approx 0,897 , W/m²·K ²

Resposta

O coeficiente global de transferência de calor é aproximadamente 0,897 W/m²·K.

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