Óleo quente deve ser resfriado em um trocador de calor em contracorrente. Os tubos de cobre internos tem diâmetro de 2 cm e espessura desprezível. O diâmetro interno do tubo externo (casco) é de 3 cm . A água escoa através de um tubo a uma taxa de
e o óleo escoa através do casco a uma taxa de
. Considerando as temperaturas médias da água e do óleo como
e
, determine o coeficiente global de transferência de calor.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo! Temos um óleo quente que precisa ser resfriado usando um trocador de calor do tipo contracorrente. Pra isso, temos tubos de cobre e água passando pelos tubos internos e externos. A gente quer descobrir o coeficiente global de transferência de calor nesse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender como o calor é transferido entre o óleo e a água, usando conceitos de transferência de calor por convecção e a geometria dos tubos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que a gente tem:
- Diâmetro interno do tubo de cobre (água): 2 cm
- Diâmetro interno do tubo externo (casco para o óleo): 3 cm
- Taxa de fluxo de água ($ \dot{m}_w $): 0,5 kg/s
- Taxa de fluxo de óleo ($ \dot{m}_o $): 0,8 kg/s
- Temperatura da água ($ T_w $): 45°C
- Temperatura do óleo ($ T_o $): 80°C
Nosso objetivo é encontrar o coeficiente global de transferência de calor ($ U $).
Passo 3
Vamos relembrar a fórmula básica da transferência de calor em um trocador:
Onde:
- $ Q $ é a taxa de transferência de calor,
- $ U $ é o coeficiente global de transferência de calor que queremos encontrar,
- $ A $ é a área de transferência de calor,
- $ \Delta T_{lm} $ é a diferença de temperatura logarítmica média.
Para isolar $ U $, a gente rearranja a fórmula:
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a área de transferência de calor ($ A $). Como é um trocador de calor em contracorrente, a área é a superfície do tubo onde ocorre a troca de calor. A fórmula para a área de um cilindro é:
Onde:
- $ D_m $ é o diâmetro médio,
- $ L $ é o comprimento do tubo.
Mas o comprimento ($ L
Q $) pode ser encontrada usando a energia transferida pela água ou pelo óleo.
Passo 5
Vamos usar a equação da energia para a água:
Onde:
- $ C_p $ é o calor específico da água (aproximadamente 4,18 kJ/kg°C),
- $ \Delta T $ é a mudança de temperatura da água.
Como não sabemos a mudança de temperatura ($ \Delta T $), vamos supor que todo o calor perdido pelo óleo é ganho pela água, então:
Mas sem mais informações, fica complicado. Vamos simplificar e considerar que a diferença de temperatura média ($ \Delta T_{lm} $) pode ser calculada.
Passo 6
A diferença de temperatura logarítmica média ($ \Delta T_{lm} $) para um trocador de calor em contracorrente é dada por:
Sem as temperaturas de saída, não podemos calcular diretamente. Então, vamos adaptar nossa abordagem para encontrar o coeficiente global $ U $ usando as propriedades dos fluidos e a geometria dos tubos.
Passo 7
O coeficiente global de transferência de calor ($ U $) considera as resistências térmicas dos dois lados do troca-calor (água e óleo) e a resistência por condução através do tubo de cobre. A fórmula geral é:
Onde:
- $ h_w $ é o coeficiente de convecção da água,
- $ h_o $ é o coeficiente de convecção do óleo,
- $ d $ é a espessura do tubo de cobre (desprezível, então essa parte vamos ignorar),
- $ k $ é a condutividade térmica do cobre.
Como a espessura é desprezível, a fórmula simplifica para:
Passo 8
Agora, vamos precisar calcular os coeficientes de convecção ($ h_w $ e $ h_o $) usando as taxas de fluxo e as dimensões dos tubos.
A fórmula para $ h $ em fluxo forçado é:
Onde:
- $ Nusselt $ é o número de Nusselt,
- $ k $ é a condutividade térmica do fluido,
- $ D $ é o diâmetro hidráulico.
Os números de Nusselt podem ser estimados usando correlações para fluxo turbulento em tubos, como a correlação de Dittus-Boelter:
Onde $ n = 0,4 $ para aquecimento.
Passo 9
Vamos calcular os números de Reynolds ($ Re $) para a água e o óleo:
Onde:
- $ \rho $ é a densidade do fluido,
- $ v $ é a velocidade do fluido,
- $ D $ é o diâmetro do tubo,
- $ \mu $ é a viscosidade dinâmica do fluido.
Primeiro, necesitamos as propriedades da água e do óleo a 45°C e 80°C, respectivamente. Vamos supor valores típicos:
-
Água a 45°C:
- $ \rho_w = 992 $ kg/m³
- $ \mu_w = 0,00055 $ Pa·s
- $ k_w = 0,632 $ W/m·K
- $ C_{p,w} = 4,18 $ kJ/kg·K
-
Óleo a 80°C:
- $ \rho_o = 850 $ kg/m³
- $ \mu_o = 0,005 $ Pa·s
- $ k_o = 0,15 $ W/m·K
- $ C_{p,o} = 2,0 $ kJ/kg·K
Passo 10
Vamos calcular a velocidade dos fluidos nos tubos.
Primeiro, a área da seção transversal da água ($ A_w $):
Velocidade da água ($ v_w $):
Área da seção transversal do óleo (( A_o \ )):
Velocidade do óleo (( v_o \ )):
Passo 11
Agora, calculamos os números de Reynolds para água e óleo.
Para a água:
Para o óleo:
Passo 12
Com os números de Reynolds, podemos calcular os números de Nusselt usando a correlação de Dittus-Boelter:
Primeiro, precisamos dos números de Prandtl ($ Pr $):
Para a água:
Para o óleo:
Agora, calculando $ Nu $:
Para a água:
Para o óleo:
Passo 13
Vamos calcular os $ Nu $:
Para a água:
Para o óleo:
Passo 14
Agora, usamos os números de Nusselt para encontrar os coeficientes de convecção:
Para a água:
Para o óleo:
Passo 15
Agora, aplicamos a fórmula do coeficiente global:
Então,
Resposta
O coeficiente global de transferência de calor é aproximadamente 0,897 W/m²·K.