(2,0) Um oleoduto de 1200 km possui uma vazão volumétrica de 245000 m^3 de óleo por dia. A maior parte do oleoduto tem um raio de 70,0 cm. Determine a pressão p em um ponto onde o cano tem um raio de 30,0 cm. Tome a pressão nas seções de 70,0 cm de raio como p=180 kPa e a massa específica do óleo como 800 kg / m^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um oleoduto de 1200 km com uma vazão volumétrica de 245000 , m^3 de óleo por dia. A maior parte do cano tem um raio de 70,0 , cm e a pressão nessa parte é de 180 , kPa. Queremos descobrir qual é a pressão em um ponto onde o raio do cano diminui para 30,0 , cm. Para isso, vamos usar conceitos de Mecânica dos Fluidos, especificamente a equação de Bernoulli e a continuidade do fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o sistema métrico padrão. A vazão volumétrica está em metros cúbicos por dia, e queremos trabalhar com segundos. Sabemos que:
1 , dia = 86400 , segundos
Então, a vazão volumétrica Q é:
Q = 245000 , m^386400 , s approx 2,834 , m^3/s

Passo 3

Agora, vamos calcular as áreas das duas seções do oleoduto usando a fórmula da área do círculo:
A = pi r^2
Para o raio de 70,0 , cm ( 0,7 , m):
A1 = pi (0,7)^2 approx 1,539 , m^2
E para o raio de 30,0 , cm ( 0,3 , m):
A2 = pi (0,3)^2 approx 0,283 , m^2

Passo 4

Vamos usar a equação da continuidade, que diz que a vazão é constante ao longo do oleoduto:
Q = A1 v1 = A2 v2
Queremos encontrar a velocidade do óleo na seção menor ( v2). Primeiro, encontramos v1:
v1 = QA1 = 2,8341,539 approx 1,841 , m/s
Agora, isolamos v2:
v2 = A1A2 v1 = 1,5390,283 times 1,841 approx 10,0 , m/s

Passo 5

Com as velocidades conhecidas, vamos aplicar a equação de Bernoulli, que relaciona pressão e velocidade em um fluxo incompressível:
p1 + 12 rho v1^2 = p2 + 12 rho v2^2
Queremos encontrar p2, então rearranjamos a equação:
p2 = p1 + 12 rho v1^2 - 12 rho v2^2
Sabemos que:
  • p1 = 180 , kPa = 180000 , Pa
  • rho = 800 , kg/m^3
  • v1 approx 1,841 , m/s
  • v2 approx 10,0 , m/s

Passo 6

Agora, substituímos os valores na equação:
p2 = 180000 + 12 times 800 times (1,841)^2 - 12 times 800 times (10,0)^2
Calculando cada termo:
12 times 800 times (1,841)^2 approx 1351 , Pa
12 times 800 times (10,0)^2 = 400 times 100 = 40000 , Pa
Então:
p2 = 180000 + 1351 - 40000
p2 = 180000 - 38649
p2 approx 141351 , Pa

Resposta

A pressão no ponto com raio de 30,0 , cm é aproximadamente 141,4 , kPa.

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