Parte 1
Num sistema de bombeamento em que os reservatórios de sucção e descarga estão abertos à atmosfera e a tubulação de descarga está posiciona abaixo da superfície livre do líquido, as alturas estáticas de aspiração e recalque valem h_{a}=5 \mathrm{ft} e h_{r}=45 \mathrm{ft}, respectivamente. As tubulações de aspiração e recalque são feitas de aço galvanizado e possuem diâmetros de 18 in e 16 in, respectivamente, sendo os seus comprimentos 50 ft e 15000 ft , respectivamente. A única perda de carga localizada significativa é aquela proporcionada por uma válvula globo localizada na descarga da bomba cujo coeficiente de descarga, C_{d}, em função da sua abertura é apresentado na tabela abaixo.
Abertura
0 %
20 %
40 %
60 %
80 %
100 %
C_{d}
0
0.03
0.06
0.1
0.15
0.41
A relação entre o coeficiente de descarga C_{d} e o coeficiente de perda de carga K_{v} é dado pela expressão:
C_{d}=\sqrt{\frac{1}{1+K_{v}}}
a) Determine a curva do sistema para aberturas de 20 \%, 40 \%, 60 \%, 80 \% e 100 \% da válvula globo.
b) Determine a velocidade específica da bomba e classifique-a.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
(a) Determinar a curva do sistema (ou seja, a relação entre a carga hidráulica requerida pelo sistema H e a vazão Q) para as aberturas de 20\%, 40\%, 60\%, 80\% e 100\% da válvula globo.
(b) Determinar a velocidade específica da bomba e classificá‑la.
Informações e dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente, com as unidades):
Alturas estáticas: h_{a}=5\\ \mathrm{ft} e h_{r}=45\\ \mathrm{ft}.
Material das tubulações: aço galvanizado (usarei um rugosidade absoluta típica \epsilon=0{,}00015\\ \mathrm{ft} para aço comercial/galvanizado).
A única perda localizada significativa é a da válvula globo na descarga. A tabela dá o coeficiente de descarga C_{d} para cada abertura:
20\%: C_{d}=0{,}03
40\%: C_{d}=0{,}06
60\%: C_{d}=0{,}10
80\%: C_{d}=0{,}15
100\%: C_{d}=0{,}41
Relação entre C_{d} e o coeficiente de perda K_{v}:C_{d}=\sqrt{\frac{1}{1+K_{v}}}.
Observação importante sobre geometria de área (vou precisar para transformar Q em velocidade):
Área da tubulação de aspiração A_{s}=\dfrac{\pi D_{s}^{2}}{4}.
Área da tubulação de recalque A_{r}=\dfrac{\pi D_{r}^{2}}{4}.
Observação física essencial (como vou montar a curva do sistema): a carga total exigida da bomba é a soma da diferença de nível estático entre reservatórios (carga estática) mais as perdas por atrito nas tubulações e perdas localizadas (válvula). Neste problema usar-se-á a forma:
Explicar a carga estática e escrever a expressão geral da curva do sistema.
A partir da equação de Bernoulli entre a superfície livre do reservatório de sucção e a superfície livre do reservatório de recalque (ambos abertos à atmosfera) e considerando velocidades nas superfícies desprezíveis, obtém‑se que a carga estática a ser vencida pela bomba é a diferença vertical entre as superfícies. No enunciado a convenção adotada (típica em bombas colocadas entre reservatórios) é que a altura estática total é a soma das alturas medidas no lado de sucção e no lado de recalque quando ambas são positivas relativamente ao eixo da bomba. Ou seja, tomo:
H_{\text{estática}} = h_{a} + h_{r}.
Substituindo os valores:
H_{\text{estática}} = 5 + 45 = 50\\ \mathrm{ft}.
(Se a sua convenção local fosse diferente, trocar‑se‑ia o sinal; aqui usamos a convensão mais comum em problemas de bombeamento: se a sucção está abaixo do centro da bomba por 5\\ \mathrm{ft} e a descarga acima por 45\\ \mathrm{ft}, a bomba precisa vencer 50\\ \mathrm{ft} só de elevação estática.)
A perda por atrito em uma linha reta (Darcy–Weisbach) é:
h_{f} = f\frac{L}{D}\cdot\frac{v^{2}}{2g},
onde:
f é o fator de atrito de Darcy (adimensional);
L comprimento da tubulação (ft);
D diâmetro da tubulação (ft);
v velocidade média no tubo (ft/s);
g aceleração da gravidade (vou usar g=32,174\\ \mathrm{ft/s^{2}}).
A perda localizada (válvula) é modelada por:
h_{v} = K_{v}\cdot\frac{v_{r}^{2}}{2g},
onde K_{v} é o coeficiente de perda da válvula e v_{r} é a velocidade na tubulação de recalque (pois a válvula está na descarga).
Como v = Q/A, todas as perdas podem ser escritas na forma constante multiplicando Q^{2}. Em particular:
onde f_{s} e f_{r} são os fatores de atrito para as seções de sucção e recalque, respectivamente, e A_{s},A_{r} as áreas correspondentes. Esta é a forma geral da curva do sistema: uma constante (estática) mais um termo aproximadamente proporcional a Q^{2}.
Passo 3
Calcular K_{v} a partir de C_{d} para as aberturas pedidas.
Aplicando para cada abertura (vou calcular com 4 casas decimais quando conveniente):
Para 20\%: C_{d}=0{,}03.K_{v}=\frac{1}{(0{,}03)^{2}}-1=\frac{1}{0{,}0009}-1=1111{,}1111-1=1110{,}1111.
Para 40\%: C_{d}=0{,}06.K_{v}=\frac{1}{(0{,}06)^{2}}-1=\frac{1}{0{,}0036}-1=277{,}7778-1=276{,}7778.
Para 60\%: C_{d}=0{,}10.K_{v}=\frac{1}{0{,}01}-1=100-1=99.
Para 80\%: C_{d}=0{,}15.K_{v}=\frac{1}{(0{,}15)^{2}}-1=\frac{1}{0{,}0225}-1=44{,}4444-1=43{,}4444.
Para 100\%: C_{d}=0{,}41.K_{v}=\frac{1}{(0{,}41)^{2}}-1=\frac{1}{0{,}1681}-1=5{,}9492-1=4{,}9492.
Vou usar estes K_{v} nas equações.
Passo 4
Calcular áreas das tubulações e escrever as expressões para as velocidades em função de Q.
Área da sucção:A_{s}=\frac{\pi D_{s}^{2}}{4}=\frac{\pi (1{,}5)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}5625 \approx 1{,}76715\\ \mathrm{ft^{2}}.
Área do recalque:A_{r}=\frac{\pi D_{r}^{2}}{4}=\frac{\pi (1{,}333\ldots)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}44444\ldots \approx 1{,}39626\\ \mathrm{ft^{2}}.
Velocidades (em função de Q em \mathrm{ft^{3}/s}):v_{s}=\frac{Q}{A_{s}},\qquad v_{r}=\frac{Q}{A_{r}}.
Passo 5
Explicar e calcular o fator de atrito f. por que é necessário e como eu o estimei.
O fator de atrito f depende de Reynolds \mathrm{Re} e da rugosidade relativa \dfrac{\epsilon}{D}. Para água em regime turbulento e para engenharia prática pode‑se usar a fórmula explícita de Swamee–Jain:
Observação prática: f depende de Q (pela \mathrm{Re}), então a expressão completa da curva do sistema fica implicitamente dependente de Q também via f(Q). Uma aproximação comum é avaliar f em torno de uma vazão de projeto/ordem de grandeza e adotar esse f constante para obter uma curva do sistema do tipo H=H_{0}+C Q^{2}. Vou fazer isso: tomo uma vazão de referência representativa para instalações industriais de porte moderado, Q_{\text{ref}}=1000\\ \mathrm{gpm}. Em unidades \mathrm{ft^{3}/s}:
Comentário: são valores típicos para água em tubulações metálicas com essas dimensões e vazões (regime turbulento). Esses f serão usados como aproximação constante para obter as curvas do sistema em forma quadrática H=50+C Q^{2}. Se desejasse mais precisão seria preciso iterar f(Q) com a vazão resultante da interseção com a curva da bomba.
Passo 6
Montar explicitamente o termo quadrático da curva do sistema (coeficiente multiplicando Q^{2}).
Reescrevo o termo em Q^{2} como:H(Q)=50 + \underbrace{\left[\frac{f_{s}L_{s}}{D_{s}A_{s}^{2}}+\frac{f_{r}L_{r}}{D_{r}A_{r}^{2}}+\frac{K_{v}}{A_{r}^{2}}\right]\frac{1}{2g}}_{\text{coeficiente total }C_{\text{total}}}\;Q^{2}.
Vou calcular cada parcela numérica (usando g=32{,}174\\ \mathrm{ft/s^{2}}, então \dfrac{1}{2g}\approx 0{,}015541\\ \mathrm{s^{2}/ft}).
Para 40\%:C_{\text{total}}\approx 0{,}002785 + 1{,}4886 + 2{,}2060 \approx 3{,}6974,
H(Q)=50 + 3{,}6974\;Q^{2}.
Para 60\%:C_{\text{total}}\approx 0{,}002785 + 1{,}4886 + 0{,}7895 \approx 2{,}2809,
H(Q)=50 + 2{,}2809\;Q^{2}.
Para 80\%:C_{\text{total}}\approx 0{,}002785 + 1{,}4886 + 0{,}3463 \approx 1{,}8377,
H(Q)=50 + 1{,}8377\;Q^{2}.
Para 100\%:C_{\text{total}}\approx 0{,}002785 + 1{,}4886 + 0{,}03944 \approx 1{,}5308,
H(Q)=50 + 1{,}5308\;Q^{2}.
Observações práticas sobre unidades e uso:
Nestes H(Q)Q deve ser inserido em \mathrm{ft^{3}/s}. Se preferir Q em \mathrm{gpm} (comum em curvas de bomba), use a transformação Q_{\mathrm{ft^{3}/s}} = Q_{\mathrm{gpm}}/448{,}831. Por exemplo, para reescrever a curva em Q_{\mathrm{gpm}}:H(Q_{\mathrm{gpm}})=50 + \underbrace{\left(\dfrac{C_{\text{total}}}{448{,}831^{2}}\right)}_{k}\;Q_{\mathrm{gpm}}^{2}.Para dar um exemplo numérico rápido: para a abertura 100\%, k\approx\dfrac{1{,}5308}{(448{,}831)^{2}}\approx 7{,}60\times 10^{-6}, entãoH(Q_{\mathrm{gpm}})\approx 50 + 7{,}60\times 10^{-6}\;Q_{\mathrm{gpm}}^{2}.
Comentário didático: a razão pela qual a parcela de recalque domina ( \approx 1{,}49Q^{2} em unidades usadas) é o comprimento enorme de 15000\\ \mathrm{ft}. Se a tubulação fosse muito curta, a válvula em posição muito fechada (por exemplo 20\%) poderia dominar.
Passo 8
Sobre a precisão desta curva e como proceder em uma prova/na prática.
O procedimento que usei é o padrão didático:
Converter dados geométricos para áreas e velocidades.
Calcular K_{v} a partir de C_{d}.
Estimar f (Swamee–Jain) em uma vazão de referência razoável e tratar f como aproximadamente constante para obter uma curva H=H_{0}+C Q^{2}.
Se for necessário maior rigor: escolha uma vazão inicial (por exemplo obtida ao intersectar com a curva da bomba), calcule f(Q), monte H(Q), encontre nova interseção e itere até convergir. Essa iteração é padrão porque f depende de \mathrm{Re} e, portanto, de Q.
Em provas normalmente pede‑se uma curva em forma quadrática aproximada (como fiz), então este resultado costuma ser suficiente.
Passo 9
Resposta à parte (b) — velocidade específica da bomba.
Definição usada em hidráulica de turbomaquinas: velocidade específica (às vezes chamada de velocidade característica) N_{s} éN_{s} = N\;\frac{\sqrt{Q}}{H^{3/4}},onde:
N é a rotação da bomba (rpm),
Q é a vazão no ponto de interesse (em unidades convencionais, geralmente \mathrm{gpm} ou \mathrm{m^{3}/s} dependendo da fórmula usada),
H é a carga na mesma condição (em ft ou m).
Para calcular e classificar N_{s} é necessário conhecer a rotação N da bomba e a vazão e altura no ponto de operação (normalmente o ponto de máxima eficiência, BEP). No enunciado NÃO foram fornecidos nem N nem a curva característica da bomba nem o ponto de operação. Portanto, NÃO há informação suficiente para calcular numericamente a velocidade específica da bomba nem classificá‑la (centrífuga radial, de fluxo misto, axial etc.). É imprescindível ter a rotação e o ponto de operação (ou a curva da bomba) para esse cálculo.
Resumo rápido dos passos computacionais feitos (útil para prova)
Converti diâmetros e calculei áreas.
Convergi C_{d} → K_{v}.
Usei Darcy–Weisbach com f estimado por Swamee–Jain em Q_{\text{ref}}=1000\\ \mathrm{gpm} para obter valores numéricos de f_{s} e f_{r}.
Montei H(Q)=50 + C_{\text{total}} Q^{2} para cada abertura.
Resposta
(a) Curvas do sistema (aproximação H(H_{\text{estática}}+C Q^{2})á, com Q em \mathrm{ft^{3}/s}):
20\% da válvula: H(Q)=50 + 10{,}3360\;Q^{2}.
40\% da válvula: H(Q)=50 + 3{,}6974\;Q^{2}.
60\% da válvula: H(Q)=50 + 2{,}2809\;Q^{2}.
80\% da válvula: H(Q)=50 + 1{,}8377\;Q^{2}.
100\% da válvula: H(Q)=50 + 1{,}5308\;Q^{2}.
(b) Não é possível determinar a velocidade específica da bomba nem classificá‑la com os dados fornecidos, porque faltam informações essenciais (pelo menos a rotação N da bomba e a vazão/altura no ponto de operação ou a curva característica da bomba).