Parte 1
Num sistema de bombeamento em que os reservatórios de sucção e descarga estão abertos à atmosfera e a tubulação de descarga está posiciona abaixo da superfície livre do líquido, as alturas estáticas de aspiração e recalque valem h_{a}=5 \mathrm{ft} e h_{r}=45 \mathrm{ft}, respectivamente. As tubulações de aspiração e recalque são feitas de aço galvanizado e possuem diâmetros de 18 in e 16 in, respectivamente, sendo os seus comprimentos 50 ft e 15000 ft , respectivamente. A única perda de carga localizada significativa é aquela proporcionada por uma válvula globo localizada na descarga da bomba cujo coeficiente de descarga, C_{d}, em função da sua abertura é apresentado na tabela abaixo.
Abertura 0 % 20 % 40 % 60 % 80 % 100 %
C_{d} 0 0.03 0.06 0.1 0.15 0.41
A relação entre o coeficiente de descarga C_{d} e o coeficiente de perda de carga K_{v} é dado pela expressão:
C_{d}=\sqrt{\frac{1}{1+K_{v}}}
a) Determine a curva do sistema para aberturas de 20 \%, 40 \%, 60 \%, 80 \% e 100 \% da válvula globo.
b) Determine a velocidade específica da bomba e classifique-a.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (a) Determinar a curva do sistema (ou seja, a relação entre a carga hidráulica requerida pelo sistema H e a vazão Q) para as aberturas de 20\%, 40\%, 60\%, 80\% e 100\% da válvula globo.
  • (b) Determinar a velocidade específica da bomba e classificá‑la.
Informações e dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente, com as unidades):
  • Alturas estáticas: h_{a}=5\\ \mathrm{ft} e h_{r}=45\\ \mathrm{ft}.
  • Tubulação de aspiração: diâmetro D_{s}=18\\ \mathrm{in} = 1{,}5\\ \mathrm{ft}, comprimento L_{s}=50\\ \mathrm{ft}.
  • Tubulação de recalque: diâmetro D_{r}=16\\ \mathrm{in} = 1{,}333\ldots\\ \mathrm{ft}, comprimento L_{r}=15000\\ \mathrm{ft}.
  • Material das tubulações: aço galvanizado (usarei um rugosidade absoluta típica \epsilon=0{,}00015\\ \mathrm{ft} para aço comercial/galvanizado).
  • A única perda localizada significativa é a da válvula globo na descarga. A tabela dá o coeficiente de descarga C_{d} para cada abertura:
    • 20\%: C_{d}=0{,}03
    • 40\%: C_{d}=0{,}06
    • 60\%: C_{d}=0{,}10
    • 80\%: C_{d}=0{,}15
    • 100\%: C_{d}=0{,}41
  • Relação entre C_{d} e o coeficiente de perda K_{v}: C_{d}=\sqrt{\frac{1}{1+K_{v}}}.
Observação importante sobre geometria de área (vou precisar para transformar Q em velocidade):
  • Área da tubulação de aspiração A_{s}=\dfrac{\pi D_{s}^{2}}{4}.
  • Área da tubulação de recalque A_{r}=\dfrac{\pi D_{r}^{2}}{4}.
Observação física essencial (como vou montar a curva do sistema): a carga total exigida da bomba é a soma da diferença de nível estático entre reservatórios (carga estática) mais as perdas por atrito nas tubulações e perdas localizadas (válvula). Neste problema usar-se-á a forma:
H(Q)=H_{\text{estática}} + h_{f,\;aspiração}(Q) + h_{f,\;recalque}(Q) + h_{v}(Q).áçã

Passo 2

Explicar a carga estática e escrever a expressão geral da curva do sistema.
  • A partir da equação de Bernoulli entre a superfície livre do reservatório de sucção e a superfície livre do reservatório de recalque (ambos abertos à atmosfera) e considerando velocidades nas superfícies desprezíveis, obtém‑se que a carga estática a ser vencida pela bomba é a diferença vertical entre as superfícies. No enunciado a convenção adotada (típica em bombas colocadas entre reservatórios) é que a altura estática total é a soma das alturas medidas no lado de sucção e no lado de recalque quando ambas são positivas relativamente ao eixo da bomba. Ou seja, tomo:
    H_{\text{estática}} = h_{a} + h_{r}.á
    Substituindo os valores:
    H_{\text{estática}} = 5 + 45 = 50\\ \mathrm{ft}.á
    (Se a sua convenção local fosse diferente, trocar‑se‑ia o sinal; aqui usamos a convensão mais comum em problemas de bombeamento: se a sucção está abaixo do centro da bomba por 5\\ \mathrm{ft} e a descarga acima por 45\\ \mathrm{ft}, a bomba precisa vencer 50\\ \mathrm{ft} só de elevação estática.)
  • A perda por atrito em uma linha reta (Darcy–Weisbach) é:
    h_{f} = f\frac{L}{D}\cdot\frac{v^{2}}{2g},
    onde:
    • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional);
    • L comprimento da tubulação (ft);
    • D diâmetro da tubulação (ft);
    • v velocidade média no tubo (ft/s);
    • g aceleração da gravidade (vou usar g=32,174\\ \mathrm{ft/s^{2}}).
  • A perda localizada (válvula) é modelada por:
    h_{v} = K_{v}\cdot\frac{v_{r}^{2}}{2g},
    onde K_{v} é o coeficiente de perda da válvula e v_{r} é a velocidade na tubulação de recalque (pois a válvula está na descarga).
  • Como v = Q/A, todas as perdas podem ser escritas na forma constante multiplicando Q^{2}. Em particular:
    H(Q) = H_{\text{estática}} + \left[\frac{f_{s}L_{s}}{D_{s}A_{s}^{2}} + \frac{f_{r}L_{r}}{D_{r}A_{r}^{2}} + \frac{K_{v}}{A_{r}^{2}}\right]\frac{Q^{2}}{2g},á
    onde f_{s} e f_{r} são os fatores de atrito para as seções de sucção e recalque, respectivamente, e A_{s},A_{r} as áreas correspondentes. Esta é a forma geral da curva do sistema: uma constante (estática) mais um termo aproximadamente proporcional a Q^{2}.

Passo 3

Calcular K_{v} a partir de C_{d} para as aberturas pedidas.
  • Reescrevendo a relação dada:
    C_{d}=\sqrt{\frac{1}{1+K_{v}}}\quad\Longrightarrow\quad K_{v}=\frac{1}{C_{d}^{2}}-1.
  • Aplicando para cada abertura (vou calcular com 4 casas decimais quando conveniente):
    • Para 20\%: C_{d}=0{,}03. K_{v}=\frac{1}{(0{,}03)^{2}}-1=\frac{1}{0{,}0009}-1=1111{,}1111-1=1110{,}1111.
    • Para 40\%: C_{d}=0{,}06. K_{v}=\frac{1}{(0{,}06)^{2}}-1=\frac{1}{0{,}0036}-1=277{,}7778-1=276{,}7778.
    • Para 60\%: C_{d}=0{,}10. K_{v}=\frac{1}{0{,}01}-1=100-1=99.
    • Para 80\%: C_{d}=0{,}15. K_{v}=\frac{1}{(0{,}15)^{2}}-1=\frac{1}{0{,}0225}-1=44{,}4444-1=43{,}4444.
    • Para 100\%: C_{d}=0{,}41. K_{v}=\frac{1}{(0{,}41)^{2}}-1=\frac{1}{0{,}1681}-1=5{,}9492-1=4{,}9492.
Vou usar estes K_{v} nas equações.

Passo 4

Calcular áreas das tubulações e escrever as expressões para as velocidades em função de Q.
  • Área da sucção: A_{s}=\frac{\pi D_{s}^{2}}{4}=\frac{\pi (1{,}5)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}5625 \approx 1{,}76715\\ \mathrm{ft^{2}}.
  • Área do recalque: A_{r}=\frac{\pi D_{r}^{2}}{4}=\frac{\pi (1{,}333\ldots)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}44444\ldots \approx 1{,}39626\\ \mathrm{ft^{2}}.
  • Velocidades (em função de Q em \mathrm{ft^{3}/s}): v_{s}=\frac{Q}{A_{s}},\qquad v_{r}=\frac{Q}{A_{r}}.

Passo 5

Explicar e calcular o fator de atrito f. por que é necessário e como eu o estimei.
  • O fator de atrito f depende de Reynolds \mathrm{Re} e da rugosidade relativa \dfrac{\epsilon}{D}. Para água em regime turbulento e para engenharia prática pode‑se usar a fórmula explícita de Swamee–Jain:
    f=\dfrac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\epsilon}{3{,}7D}+\dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{2}}.
    Aqui \mathrm{Re}=\dfrac{vD}{\nu}, com \nu a viscosidade cinemática da água. Vou usar um valor típico para água a temperatura ambiente:
    \nu\approx 1{,}1\times 10^{-5}\\ \mathrm{ft^{2}/s}.
  • Observação prática: f depende de Q (pela \mathrm{Re}), então a expressão completa da curva do sistema fica implicitamente dependente de Q também via f(Q). Uma aproximação comum é avaliar f em torno de uma vazão de projeto/ordem de grandeza e adotar esse f constante para obter uma curva do sistema do tipo H=H_{0}+C Q^{2}. Vou fazer isso: tomo uma vazão de referência representativa para instalações industriais de porte moderado, Q_{\text{ref}}=1000\\ \mathrm{gpm}. Em unidades \mathrm{ft^{3}/s}:
    Q_{\text{ref}}=\frac{1000}{448{,}831}\approx 2{,}227\\ \mathrm{ft^{3}/s}.
    (Obs.: 1 gpm = 1/448{,}831\\ \mathrm{ft^{3}/s}.)
  • Calcular velocidades e Reynolds em Q_{\text{ref}}:
    v_{s,\text{ref}}=\frac{2{,}227}{1{,}76715}\approx 1{,}259\\ \mathrm{ft/s},
v_{r,\text{ref}}=\frac{2{,}227}{1{,}39626}\approx 1{,}595\\ \mathrm{ft/s}.
\mathrm{Re}_{s}=\frac{v_{s}D_{s}}{\nu}\approx\frac{1{,}259\times 1{,}5}{1{,}1\times 10^{-5}}\approx 1{,}72\times 10^{5},
\mathrm{Re}_{r}=\frac{v_{r}D_{r}}{\nu}\approx\frac{1{,}595\times 1{,}3333}{1{,}1\times 10^{-5}}\approx 1{,}93\times 10^{5}.
  • Rugosidades relativas:
    \frac{\epsilon}{D_{s}}=\frac{0{,}00015}{1{,}5}=1{,}0\times 10^{-4}, \quad \frac{\epsilon}{D_{r}}=\frac{0{,}00015}{1{,}3333}\approx 1{,}125\times 10^{-4}.
  • Aplicando Swamee–Jain (valores numéricos arredondados):
    f_{s}\approx 0{,}0168,\qquad f_{r}\approx 0{,}0166.
    Comentário: são valores típicos para água em tubulações metálicas com essas dimensões e vazões (regime turbulento). Esses f serão usados como aproximação constante para obter as curvas do sistema em forma quadrática H=50+C Q^{2}. Se desejasse mais precisão seria preciso iterar f(Q) com a vazão resultante da interseção com a curva da bomba.

Passo 6

Montar explicitamente o termo quadrático da curva do sistema (coeficiente multiplicando Q^{2}).
  • Reescrevo o termo em Q^{2} como: H(Q)=50 + \underbrace{\left[\frac{f_{s}L_{s}}{D_{s}A_{s}^{2}}+\frac{f_{r}L_{r}}{D_{r}A_{r}^{2}}+\frac{K_{v}}{A_{r}^{2}}\right]\frac{1}{2g}}_{\text{coeficiente total }C_{\text{total}}}\;Q^{2}.
  • Vou calcular cada parcela numérica (usando g=32{,}174\\ \mathrm{ft/s^{2}}, então \dfrac{1}{2g}\approx 0{,}015541\\ \mathrm{s^{2}/ft}).
Cálculo das parcelas fixas (com os f estimados):
  • Parcela de sucção:
    \frac{f_{s}L_{s}}{D_{s}A_{s}^{2}}\cdot\frac{1}{2g} \approx 0{,}002785.
  • Parcela de recalque (fricção ao longo dos 15000\\ \mathrm{ft}):
    \frac{f_{r}L_{r}}{D_{r}A_{r}^{2}}\cdot\frac{1}{2g} \approx 1{,}4886.
    Observação: esta parcela domina porque o comprimento de recalque é muito grande.
  • Parcela da válvula (depende de K_{v}):
    \frac{K_{v}}{A_{r}^{2}}\cdot\frac{1}{2g}.
    Agora substituo os K_{v} calculados no Passo 3 e uso A_{r}^{2}\approx 1{,}94956\\ \mathrm{ft^{4}}.

Passo 7

Calcular o coeficiente total C_{\text{total}} e escrever a curva do sistema para cada abertura.
  • Primeiro calculei para cada K_{v} a contribuição numérica da válvula:
    • 20\% ( K_{v}\approx 1110{,}1111 ): \frac{K_{v}}{A_{r}^{2}}\cdot\frac{1}{2g}\approx 8{,}8446.
    • 40\% ( K_{v}\approx 276{,}7778 ): \approx 2{,}2060.
    • 60\% ( K_{v}=99 ): \approx 0{,}7895.
    • 80\% ( K_{v}\approx 43{,}4444 ): \approx 0{,}3463.
    • 100\% ( K_{v}\approx 4{,}9492 ): \approx 0{,}03944.
  • Agora somo as três parcelas (sucção + recalque + válvula) para obter C_{\text{total}} e escrevo a curva:
    • Para 20\%: C_{\text{total}}=0{,}002785 + 1{,}4886 + 8{,}8446 \approx 10{,}3360.Portanto: H(Q)=50 + 10{,}3360\;Q^{2},\qquad Q\\ \text{em}\\ \mathrm{ft^{3}/s},\\ H\\ \text{em ft}.
    • Para 40\%: C_{\text{total}}\approx 0{,}002785 + 1{,}4886 + 2{,}2060 \approx 3{,}6974,
H(Q)=50 + 3{,}6974\;Q^{2}.
  • Para 60\%: C_{\text{total}}\approx 0{,}002785 + 1{,}4886 + 0{,}7895 \approx 2{,}2809,
H(Q)=50 + 2{,}2809\;Q^{2}.
  • Para 80\%: C_{\text{total}}\approx 0{,}002785 + 1{,}4886 + 0{,}3463 \approx 1{,}8377,
H(Q)=50 + 1{,}8377\;Q^{2}.
  • Para 100\%: C_{\text{total}}\approx 0{,}002785 + 1{,}4886 + 0{,}03944 \approx 1{,}5308,
H(Q)=50 + 1{,}5308\;Q^{2}.
  • Observações práticas sobre unidades e uso:
    • Nestes H(Q) Q deve ser inserido em \mathrm{ft^{3}/s}. Se preferir Q em \mathrm{gpm} (comum em curvas de bomba), use a transformação Q_{\mathrm{ft^{3}/s}} = Q_{\mathrm{gpm}}/448{,}831. Por exemplo, para reescrever a curva em Q_{\mathrm{gpm}}: H(Q_{\mathrm{gpm}})=50 + \underbrace{\left(\dfrac{C_{\text{total}}}{448{,}831^{2}}\right)}_{k}\;Q_{\mathrm{gpm}}^{2}.Para dar um exemplo numérico rápido: para a abertura 100\%, k\approx\dfrac{1{,}5308}{(448{,}831)^{2}}\approx 7{,}60\times 10^{-6}, então H(Q_{\mathrm{gpm}})\approx 50 + 7{,}60\times 10^{-6}\;Q_{\mathrm{gpm}}^{2}.
  • Comentário didático: a razão pela qual a parcela de recalque domina ( \approx 1{,}49Q^{2} em unidades usadas) é o comprimento enorme de 15000\\ \mathrm{ft}. Se a tubulação fosse muito curta, a válvula em posição muito fechada (por exemplo 20\%) poderia dominar.

Passo 8

Sobre a precisão desta curva e como proceder em uma prova/na prática.
  • O procedimento que usei é o padrão didático:
    1. Converter dados geométricos para áreas e velocidades.
    2. Calcular K_{v} a partir de C_{d}.
    3. Estimar f (Swamee–Jain) em uma vazão de referência razoável e tratar f como aproximadamente constante para obter uma curva H=H_{0}+C Q^{2}.
  • Se for necessário maior rigor: escolha uma vazão inicial (por exemplo obtida ao intersectar com a curva da bomba), calcule f(Q), monte H(Q), encontre nova interseção e itere até convergir. Essa iteração é padrão porque f depende de \mathrm{Re} e, portanto, de Q.
  • Em provas normalmente pede‑se uma curva em forma quadrática aproximada (como fiz), então este resultado costuma ser suficiente.

Passo 9

Resposta à parte (b) — velocidade específica da bomba.
  • Definição usada em hidráulica de turbomaquinas: velocidade específica (às vezes chamada de velocidade característica) N_{s} é N_{s} = N\;\frac{\sqrt{Q}}{H^{3/4}},onde:
    • N é a rotação da bomba (rpm),
    • Q é a vazão no ponto de interesse (em unidades convencionais, geralmente \mathrm{gpm} ou \mathrm{m^{3}/s} dependendo da fórmula usada),
    • H é a carga na mesma condição (em ft ou m).
  • Para calcular e classificar N_{s} é necessário conhecer a rotação N da bomba e a vazão e altura no ponto de operação (normalmente o ponto de máxima eficiência, BEP). No enunciado NÃO foram fornecidos nem N nem a curva característica da bomba nem o ponto de operação. Portanto, NÃO há informação suficiente para calcular numericamente a velocidade específica da bomba nem classificá‑la (centrífuga radial, de fluxo misto, axial etc.). É imprescindível ter a rotação e o ponto de operação (ou a curva da bomba) para esse cálculo.

Resumo rápido dos passos computacionais feitos (útil para prova)

  • Converti diâmetros e calculei áreas.
  • Convergi C_{d} K_{v}.
  • Usei Darcy–Weisbach com f estimado por Swamee–Jain em Q_{\text{ref}}=1000\\ \mathrm{gpm} para obter valores numéricos de f_{s} e f_{r}.
  • Montei H(Q)=50 + C_{\text{total}} Q^{2} para cada abertura.

Resposta

(a) Curvas do sistema (aproximação H(H_{\text{estática}}+C Q^{2})á, com Q em \mathrm{ft^{3}/s}):
  • 20\% da válvula: H(Q)=50 + 10{,}3360\;Q^{2}.
  • 40\% da válvula: H(Q)=50 + 3{,}6974\;Q^{2}.
  • 60\% da válvula: H(Q)=50 + 2{,}2809\;Q^{2}.
  • 80\% da válvula: H(Q)=50 + 1{,}8377\;Q^{2}.
  • 100\% da válvula: H(Q)=50 + 1{,}5308\;Q^{2}.
(b) Não é possível determinar a velocidade específica da bomba nem classificá‑la com os dados fornecidos, porque faltam informações essenciais (pelo menos a rotação N da bomba e a vazão/altura no ponto de operação ou a curva característica da bomba).

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