(Olimpiada de matemática de Kiev-modificada) O número total de raízes reais da equação x^{2}-3|x|+ 2^{\mathrm{x}}=0 é igual a :
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
Pede: o número total de raízes reais da equação \,x^{2}-3|x|+2^{x}=0.
Dado importante: o termo |x| indica valor absoluto; portanto a equação deve ser tratada em dois ramos: x\ge 0 e x<0.
Plano (breve, só para orientar): separar em casos conforme |x|, estudar cada função obtida (sinais em pontos-chave, derivadas para monotonicidade/concavidade) e usar o Teorema do Valor Intermediário para contar zeros.
Passo 2
Separar em casos pelo valor absoluto e escrever as funções a estudar.
Para x\ge 0 temos |x|=x. A equação vira
g(x)=x^{2}-3x+2^{x}=0,\qquad x\ge 0.
Para x<0 temos |x|=-x. A equação vira
m(x)=x^{2}+3x+2^{x}=0,\qquad x<0.
Vou estudar separadamente quantas raízes cada uma dessas equações tem no seu domínio.
Passo 3
Análise do ramo x\ge 0: definir g(x)=x^{2}-3x+2^{x}. Primeiro sinais em pontos simples.
Calcular em x=0:
g(0)=0^{2}-3\cdot 0+2^{0}=1>0.
Calcular em x=1:
g(1)=1^{2}-3\cdot1+2^{1}=1-3+2=0,
ou seja x=1 é uma raiz (uma solução no ramo x\ge 0).
Calcular em x=0,8 (para detectar mudança de sinal entre 0 e 1):
Como g(0)=1>0 e g(0,8)<0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em (0,0,8).
Até aqui já temos duas raízes no ramo x\ge 0: uma em (0,0,8) e a conhecida x=1. Agora preciso garantir que não haja mais.
Passo 4
Monotonicidade e concavidade de g para mostrar número máximo de raízes em x\ge 0.
Derivada:
g'(x)=2x-3+2^{x}\ln 2.
Segunda derivada:
g''(x)=2+2^{x}(\ln 2)^{2}>0\quad\text{para todo }x.
Como g''(x)>0 para todo x, a derivada g' é estritamente crescente. Logo g' pode ter no máximo uma raiz, o que implica que g tem no máximo um mínimo local. Assim o gráfico de g para x\ge0 desce até esse mínimo e depois sobe; portanto g pode ter no máximo duas interseções com o eixo x no intervalo [0,\infty).
Já encontramos duas interseções (uma em (0,0,8) e x=1). Portanto são exatamente duas raízes no ramo x\ge 0.
Passo 5
Análise do ramo x<0: definir m(x)=x^{2}+3x+2^{x}. Primeiro sinais em pontos simples.
Com esses valores vemos que m(-3)>0 e m(-2)<0, logo existe uma raiz em (-3,-2). Também m(-1)<0 e m(0)>0, logo existe outra raiz em (-1,0). Assim já garantimos pelo menos duas raízes no ramo x<0.
Passo 6
Monotonicidade e concavidade de m para concluir número de raízes em x<0.
Derivada:
m'(x)=2x+3+2^{x}\ln 2.
Segunda derivada:
m''(x)=2+2^{x}(\ln 2)^{2}>0\quad\text{para todo }x.
Novamente m''(x)>0 implica m' estritamente crescente, logo m tem no máximo um mínimo local. Portanto m pode cortar o eixo x no máximo duas vezes. Já detectamos duas mudanças de sinal (em (-3,-2) e em (-1,0)), então são exatamente duas raízes no ramo x<0.
Passo 7
Conclusão final sobre o número total de raízes.
Ramo x\ge 0: exatamente 2 raízes.
Ramo x<0: exatamente 2 raízes.
Logo o número total de raízes reais da equação é 2+2=4.