(Olimpiada de matemática de Kiev-modificada) O número total de raízes reais da equação x^{2}-3|x|+ 2^{\mathrm{x}}=0 é igual a :
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pede: o número total de raízes reais da equação \,x^{2}-3|x|+2^{x}=0.
  • Dado importante: o termo |x| indica valor absoluto; portanto a equação deve ser tratada em dois ramos: x\ge 0 e x<0.
  • Plano (breve, só para orientar): separar em casos conforme |x|, estudar cada função obtida (sinais em pontos-chave, derivadas para monotonicidade/concavidade) e usar o Teorema do Valor Intermediário para contar zeros.

Passo 2

Separar em casos pelo valor absoluto e escrever as funções a estudar.
  • Para x\ge 0 temos |x|=x. A equação vira
g(x)=x^{2}-3x+2^{x}=0,\qquad x\ge 0.
  • Para x<0 temos |x|=-x. A equação vira
m(x)=x^{2}+3x+2^{x}=0,\qquad x<0.
Vou estudar separadamente quantas raízes cada uma dessas equações tem no seu domínio.

Passo 3

Análise do ramo x\ge 0: definir g(x)=x^{2}-3x+2^{x}. Primeiro sinais em pontos simples.
  • Calcular em x=0:
g(0)=0^{2}-3\cdot 0+2^{0}=1>0.
  • Calcular em x=1:
g(1)=1^{2}-3\cdot1+2^{1}=1-3+2=0,
ou seja x=1 é uma raiz (uma solução no ramo x\ge 0).
  • Calcular em x=0,8 (para detectar mudança de sinal entre 0 e 1):
x^{2}-3x\big|_{x=0,8}=0,8^{2}-3\cdot0,8=0,64-2,4=-1,76.
2^{0,8}=\mathrm{e}^{0,8\ln 2}\approx\mathrm{e}^{0,5544}\approx1,741.
Portanto
g(0,8)\approx-1,76+1,741\approx-0,019<0.
Como g(0)=1>0 e g(0,8)<0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em (0,0,8).
Até aqui já temos duas raízes no ramo x\ge 0: uma em (0,0,8) e a conhecida x=1. Agora preciso garantir que não haja mais.

Passo 4

Monotonicidade e concavidade de g para mostrar número máximo de raízes em x\ge 0.
  • Derivada:
g'(x)=2x-3+2^{x}\ln 2.
  • Segunda derivada:
g''(x)=2+2^{x}(\ln 2)^{2}>0\quad\text{para todo }x.
Como g''(x)>0 para todo x, a derivada g' é estritamente crescente. Logo g' pode ter no máximo uma raiz, o que implica que g tem no máximo um mínimo local. Assim o gráfico de g para x\ge0 desce até esse mínimo e depois sobe; portanto g pode ter no máximo duas interseções com o eixo x no intervalo [0,\infty).
Já encontramos duas interseções (uma em (0,0,8) e x=1). Portanto são exatamente duas raízes no ramo x\ge 0.

Passo 5

Análise do ramo x<0: definir m(x)=x^{2}+3x+2^{x}. Primeiro sinais em pontos simples.
  • Calcular em x=0:
m(0)=0+0+2^{0}=1>0.
  • Calcular em x=-1:
m(-1)=(-1)^{2}+3(-1)+2^{-1}=1-3+\tfrac{1}{2}=-1,5<0.
  • Calcular em x=-2:
m(-2)=4-6+2^{-2}= -2+ \tfrac{1}{4}=-1,75<0.
  • Calcular em x=-3:
m(-3)=9-9+2^{-3}=0+\tfrac{1}{8}=0,125>0.
Com esses valores vemos que m(-3)>0 e m(-2)<0, logo existe uma raiz em (-3,-2). Também m(-1)<0 e m(0)>0, logo existe outra raiz em (-1,0). Assim já garantimos pelo menos duas raízes no ramo x<0.

Passo 6

Monotonicidade e concavidade de m para concluir número de raízes em x<0.
  • Derivada:
m'(x)=2x+3+2^{x}\ln 2.
  • Segunda derivada:
m''(x)=2+2^{x}(\ln 2)^{2}>0\quad\text{para todo }x.
Novamente m''(x)>0 implica m' estritamente crescente, logo m tem no máximo um mínimo local. Portanto m pode cortar o eixo x no máximo duas vezes. Já detectamos duas mudanças de sinal (em (-3,-2) e em (-1,0)), então são exatamente duas raízes no ramo x<0.

Passo 7

Conclusão final sobre o número total de raízes.
  • Ramo x\ge 0: exatamente 2 raízes.
  • Ramo x<0: exatamente 2 raízes.
    Logo o número total de raízes reais da equação é 2+2=4.

Resposta

e) 4

Exercícios relacionados