(Olimpíada de Matemática de Moscou - modificada) Quantas soluções reais possui a equação
?
a) 0
b) 1
c) 3
d) 5
e)11
a) 0
b) 1
c) 3
d) 5
e)11
Passo 1
O enunciado pede: determinar quantas soluções reais tem a equação
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A equação é polinomial de grau
com coeficientes reais. - As incógnitas e os coeficientes estão todos explícitos na expressão.
Passo 2
Defino a função polinomial correspondente para trabalhar com ela:
Explicando um pouco: é comum transformar uma equação
num estudo da função
. Se soubermos como
se comporta (contínua, monotonia, limites), podemos concluir quantas vezes ela cruza o eixo
.
Passo 3
Vou estudar a monotonicidade de
calculando a derivada
. Lembrete rápido (regra usada): a derivada de
é
. Aplicando termo a termo:
Cada termo aqui merece comentário:
,
e
são potências de expoente par, portanto para todo
real valem
. Multiplicando por coeficientes positivos (
) continuam
. E há o termo constante
.
Passo 4
Concluo a partir de
que:
Explicando: mesmo que
sejam zero (ocorre só em
), o
garante estrita positividade. Logo
é positiva em todos os reais, o que significa, por definição, que
é estritamente crescente em
.
Passo 5
Um polinômio de grau ímpar (aqui grau
) tem limites:
Isto garante que
assume valores arbitrariamente negativos e arbitrariamente positivos, então por continuidade existe pelo menos uma raiz real (Teorema do Valor Intermediário). Para ilustrar de forma concreta (útil na prova): calculemos valores pontuais para localizar o sinal.
Como
e
, existe uma raiz em
por continuidade.
Passo 6
Combino os fatos:
é contínua e estritamente crescente em
, portanto pode ter no máximo uma raiz real; e da observação anterior existe pelo menos uma raiz real. Conclusão: existe exatamente uma solução real da equação.
Resposta
b) 1