(Olimpíada de Matemática de Moscou - modificada) Quantas soluções reais possui a equação x^{11}+x^{7}+ \mathrm{x}^{3}+x+5=0 ?
a) 0
b) 1
c) 3
d) 5
e)11

Passo 1

O enunciado pede: determinar quantas soluções reais tem a equação x^{11}+x^{7}+x^{3}+x+5=0.
Informações dadas:
  • A equação é polinomial de grau 11 com coeficientes reais.
  • As incógnitas e os coeficientes estão todos explícitos na expressão.

Passo 2

Defino a função polinomial correspondente para trabalhar com ela:
f(x)=x^{11}+x^{7}+x^{3}+x+5.
Explicando um pouco: é comum transformar uma equação f(x)=0 num estudo da função f. Se soubermos como f se comporta (contínua, monotonia, limites), podemos concluir quantas vezes ela cruza o eixo x.

Passo 3

Vou estudar a monotonicidade de f calculando a derivada f'(x). Lembrete rápido (regra usada): a derivada de x^n é n x^{n-1}. Aplicando termo a termo:
f'(x)=11x^{10}+7x^{6}+3x^{2}+1.
Cada termo aqui merece comentário: x^{10}, x^{6} e x^{2} são potências de expoente par, portanto para todo x real valem \ge 0. Multiplicando por coeficientes positivos ( 11,7,3) continuam \ge 0. E há o termo constante +1.

Passo 4

Concluo a partir de f'(x) que:
f'(x)=11x^{10}+7x^{6}+3x^{2}+1>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Explicando: mesmo que x^{10},x^{6},x^{2} sejam zero (ocorre só em x=0), o +1 garante estrita positividade. Logo f' é positiva em todos os reais, o que significa, por definição, que f é estritamente crescente em \mathbb{R}.

Passo 5

Um polinômio de grau ímpar (aqui grau 11) tem limites:
\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
Isto garante que f assume valores arbitrariamente negativos e arbitrariamente positivos, então por continuidade existe pelo menos uma raiz real (Teorema do Valor Intermediário). Para ilustrar de forma concreta (útil na prova): calculemos valores pontuais para localizar o sinal.
f(-1)=(-1)^{11}+(-1)^{7}+(-1)^{3}+(-1)+5=-1-1-1-1+5=1>0.
f(-2)=(-2)^{11}+(-2)^{7}+(-2)^{3}+(-2)+5=-2048-128-8-2+5=-2181<0.
Como f(-2)<0 e f(-1)>0, existe uma raiz em (-2,-1) por continuidade.

Passo 6

Combino os fatos: f é contínua e estritamente crescente em \mathbb{R}, portanto pode ter no máximo uma raiz real; e da observação anterior existe pelo menos uma raiz real. Conclusão: existe exatamente uma solução real da equação.

Resposta

b) 1

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