(Olimpíada Romena de Matemática - modificada) O número de raízes reais da equação x^{100}-100 x+ 99=0 é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 90
e)100

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{100}-100x+99=0
e pede o número de raízes reais desta equação (as alternativas são 0,\,1,\,2,\,90,\,100). Vou listar as informações importantes que já temos explicitamente:
  • É um polinômio de grau 100 com coeficiente líder positivo.
  • Queremos contar as raízes reais (a questão objetiva dá alternativas, então há uma única opção correta entre as listadas).

Passo 2

Defino a função associada
f(x)=x^{100}-100x+99.
Antes de tudo, observo o comportamento nas extremidades para intuir quantas vezes o gráfico pode cruzar o eixo x:
  • Para x\to+\infty, x^{100}\to+\infty e então f(x)\to+\infty.
  • Para x\to-\infty, como 100 é par, x^{100}\to+\infty também, então f(x)\to+\infty.
    Portanto o gráfico de f tende a +\infty em ambas as extremidades (comportamento típico de polinômio de grau par com coeficiente líder positivo). Isso já indica que o número de raízes reais (contando multiplicidade) é par, e que se houver raízes reais elas ocorrem por um “mergulho” do gráfico que atinge ou atravessa o eixo e volta para +\infty.

Passo 3

Vou estudar a monotonicidade de f calculando a derivada:
f'(x)=100x^{99}-100=100\bigl(x^{99}-1\bigr).
Agora analiso o sinal de f'(x):
  • Se x>1, então x^{99}>1 e assim f'(x)>0: f é crescente em (1,+\infty).
  • Se x<1, então x^{99}<1 (note que isto vale para todos x<1, inclusive negativos, pois se x<1 então x^{99}\le 1 e para x\neq1 estritamente x^{99}<1), logo f'(x)<0: f é decrescente em (-\infty,1).
    Portanto f tem exatamente um ponto crítico real, que é x=1, e ali ocorre troca de decrescimento para crescimento: x=1 é um mínimo global de f.
(Dica rápida sobre por que x^{99}<1 para todo x<1: se 0\le x<1 então x^{99}<1 pela potenciação; se x<0 e ímpar o expoente, x^{99} é negativo, logo x^{99}<1. Assim a afirmação é válida para todo x<1.)

Passo 4

Avalio f no mínimo x=1:
f(1)=1^{100}-100\cdot1+99=1-100+99=0.
Como x=1 é o mínimo global e f(1)=0, o gráfico de f toca o eixo x em x=1 e não o atravessa (porque à esquerda de 1 f decresce e à direita cresce). Isso indica que não existem outros pontos em que f(x)=0: se houvesse outro zero à esquerda de 1 teria de haver um ponto onde f voltasse a crescer antes de 1 (o que não acontece, foi mostrado que f é estritamente decrescente em (-\infty,1)), e se houvesse outro zero à direita de 1 teria de haver um ponto onde f deixasse de crescer (não acontece em (1,\infty)). Portanto não há outros zeros reais além possivelmente de x=1.

Passo 5

Para entender melhor a natureza da raiz em x=1 (se é simples ou múltipla), faço uma fatoração útil. Escrevo
x^{100}-100x+99=(x^{100}-1)-100(x-1)=(x-1)\Bigl(\sum_{k=0}^{99}x^k -100\Bigr).
Definindo \displaystyle S(x)=\sum_{k=0}^{99}x^k, temos f(x)=(x-1)\bigl(S(x)-100\bigr). Note que
S(1)=\sum_{k=0}^{99}1=100,
portanto S(1)-100=0, isto é, x=1 é também raiz de S(x)-100. Logo x=1 é raiz dupla de f. Para ver que a multiplicidade é exatamente 2 (e não maior), verifico a derivada de S:
S'(x)=\sum_{k=1}^{99}k\,x^{k-1},
e em particular
S'(1)=\sum_{k=1}^{99}k=\frac{99\cdot100}{2}=4950\neq 0.
Como S(1)-100=0 e S'(1)\neq 0, a raiz de S(x)-100 em x=1 é simples, daí f(x) possui exatamente um fator (x-1) vindo do primeiro parêntese e mais um fator (x-1) vindo do segundo — no total (x-1)^2 na fatoração de f. Conclusão técnica: x=1 é raiz de multiplicidade 2 e não existem outras raízes reais.

Passo 6

Interpretação final (para a prova): a equação tem exatamente uma raiz real distinta, que é x=1. Se alguém perguntar pelo número de raízes reais contando multiplicidade a resposta seria 2 (pois a raiz x=1 é dupla). Porém, em contextos normais de “número de raízes reais” em questões objetivas, conta-se o número de soluções reais distintas: há apenas uma.

Resposta

b) 1

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