(Olimpíada Romena de Matemática - modificada) O número de raízes reais da equação
é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 90
e)100
a) 0
b) 1
c) 2
d) 90
e)100
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede o número de raízes reais desta equação (as alternativas são
). Vou listar as informações importantes que já temos explicitamente:
- É um polinômio de grau
com coeficiente líder positivo. - Queremos contar as raízes reais (a questão objetiva dá alternativas, então há uma única opção correta entre as listadas).
Passo 2
Defino a função associada
Antes de tudo, observo o comportamento nas extremidades para intuir quantas vezes o gráfico pode cruzar o eixo
:
- Para
, e então . - Para
, como é par, também, então .
Portanto o gráfico detende a em ambas as extremidades (comportamento típico de polinômio de grau par com coeficiente líder positivo). Isso já indica que o número de raízes reais (contando multiplicidade) é par, e que se houver raízes reais elas ocorrem por um “mergulho” do gráfico que atinge ou atravessa o eixo e volta para .
Passo 3
Vou estudar a monotonicidade de
calculando a derivada:
Agora analiso o sinal de
:
- Se
, então e assim : é crescente em . - Se
, então (note que isto vale para todos , inclusive negativos, pois se então e para estritamente ), logo : é decrescente em .
Portantotem exatamente um ponto crítico real, que é , e ali ocorre troca de decrescimento para crescimento: é um mínimo global de .
(Dica rápida sobre por que
para todo
: se
então
pela potenciação; se
e ímpar o expoente,
é negativo, logo
. Assim a afirmação é válida para todo
.)
Passo 4
Avalio
no mínimo
:
Como
é o mínimo global e
, o gráfico de
toca o eixo
em
e não o atravessa (porque à esquerda de
decresce e à direita cresce). Isso indica que não existem outros pontos em que
: se houvesse outro zero à esquerda de
teria de haver um ponto onde
voltasse a crescer antes de
(o que não acontece, foi mostrado que
é estritamente decrescente em
), e se houvesse outro zero à direita de
teria de haver um ponto onde
deixasse de crescer (não acontece em
). Portanto não há outros zeros reais além possivelmente de
.
Passo 5
Para entender melhor a natureza da raiz em
(se é simples ou múltipla), faço uma fatoração útil. Escrevo
Definindo
, temos
. Note que
portanto
, isto é,
é também raiz de
. Logo
é raiz dupla de
. Para ver que a multiplicidade é exatamente
(e não maior), verifico a derivada de
:
e em particular
Como
e
, a raiz de
em
é simples, daí
possui exatamente um fator
vindo do primeiro parêntese e mais um fator
vindo do segundo — no total
na fatoração de
. Conclusão técnica:
é raiz de multiplicidade
e não existem outras raízes reais.
Passo 6
Interpretação final (para a prova): a equação tem exatamente uma raiz real distinta, que é
. Se alguém perguntar pelo número de raízes reais contando multiplicidade a resposta seria
(pois a raiz
é dupla). Porém, em contextos normais de “número de raízes reais” em questões objetivas, conta-se o número de soluções reais distintas: há apenas uma.
Resposta
b)