(Olimpíada de Matemática da Turquia - modificada) Seja p(x) um polinômio com coeficientes reais de grau n \geq 1. Sabendo que existem n+1 números reais distintos \mathrm{x}_{0}<\mathrm{x}_{1}<\mathrm{x}_{2}<\cdots<\mathrm{x}_{\mathrm{n}} tais que p\left(\mathrm{x}_{\mathrm{k}}\right)=(-1)^{\mathrm{k}} para cada k \in\{0,1,2, \ldots, n\}, o número de raízes reais de p(x) é:
a) 0
b) 1
c) n-1
d) n
e) depende dos valores de x_{k}

Passo 1

O enunciado dá um polinômio real p(x) de grau n\ge 1 e n+1 pontos reais distintos
x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n
tais que, para cada k\in\{0,1,\dots,n\},
p(x_k)=(-1)^k.
O que o problema pede é determinar o número de raízes reais de p(x) (entre as alternativas dadas).

Passo 2

Observação básica sobre os valores em pontos consecutivos: para todo k=0,1,\dots,n-1 temos
p(x_k)=(-1)^k,\qquad p(x_{k+1})=(-1)^{k+1} = -(-1)^k,
portanto p(x_k) e p(x_{k+1}) têm sinais opostos. Em particular,
p(x_k)\,p(x_{k+1}) = -1 < 0.
Agora um lembrete importante (ferramenta que usamos): todo polinômio real é uma função contínua. O Teorema do Valor Intermediário (TVI) diz o seguinte: se f é contínua em um intervalo fechado [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe pelo menos um c\in(a,b) com f\text{(c)}=0. Aplicando o TVI a p em cada intervalo (x_k,x_{k+1}) obtemos que, para cada k=0,1,\dots,n-1, existe ao menos um ponto c_k\in(x_k,x_{k+1}) tal que
p(c_k)=0.
Assim já garantimos a existência de pelo menos n raízes reais (um em cada um dos n intervalos (x_0,x_1),\,(x_1,x_2),\dots,(x_{n-1},x_n)).

Passo 3

Agora precisamos um limite superior. Uma propriedade elementar de polinômios diz: um polinômio real não nulo de grau n pode ter no máximo n raízes reais distintas. (Intuição/justificativa curta: se um polinômio não nulo de grau n tivesse mais do que n raízes distintas, a fatoração em termos lineares sobre \mathbb{R} ou a divisão por (x-r) sucessivamente levaria a um polinômio de grau negativo, o que é impossível; portanto só pode ter no máximo n raízes distintas.)
Além disso, p não é o polinômio nulo porque p(x_k)=\pm1\neq0 para os pontos dados.
Logo, p tem no máximo n raízes reais.

Passo 4

Combinando as duas informações:
  • pelo TVI obtemos pelo menos n raízes reais;
  • pelo fato do grau, p tem no máximo n raízes reais.
Portanto p tem exatamente n raízes reais. Como os n intervalos (x_k,x_{k+1}) são disjuntos e cada um contém pelo menos uma raiz, concluímos que há exatamente uma raiz em cada intervalo (x_k,x_{k+1}); assim as raízes são reais e distintas.

Passo 5

Para fixar a intuição, alguns exemplos rápidos:
  • Se n=1: dois pontos x_0<x_1 com p(x_0)=1 e p(x_1)=-1. Uma reta que vale 1 num ponto e -1 em outro cruza o eixo uma vez — exatamente n=1 raiz real.
  • Se n=2: três pontos com valores 1,-1,1. Entre x_0 e x_1 existe uma raiz, entre x_1 e x_2 existe outra — total 2 raízes reais, que é n.

Resposta

d) n

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