(Olimpíada de Matemática da Turquia - modificada) Seja
um polinômio com coeficientes reais de grau
. Sabendo que existem
números reais distintos
tais que
para cada
, o número de raízes reais de
é:
a) 0
b) 1
c)
d)
e) depende dos valores de
a) 0
b) 1
c)
d)
e) depende dos valores de
Passo 1
O enunciado dá um polinômio real
de grau
e
pontos reais distintos
tais que, para cada
,
O que o problema pede é determinar o número de raízes reais de
(entre as alternativas dadas).
Passo 2
Observação básica sobre os valores em pontos consecutivos: para todo
temos
portanto
e
têm sinais opostos. Em particular,
Agora um lembrete importante (ferramenta que usamos): todo polinômio real é uma função contínua. O Teorema do Valor Intermediário (TVI) diz o seguinte: se
é contínua em um intervalo fechado
e
e
têm sinais opostos, então existe pelo menos um
com
. Aplicando o TVI a
em cada intervalo
obtemos que, para cada
, existe ao menos um ponto
tal que
Assim já garantimos a existência de pelo menos
raízes reais (um em cada um dos
intervalos
).
Passo 3
Agora precisamos um limite superior. Uma propriedade elementar de polinômios diz: um polinômio real não nulo de grau
pode ter no máximo
raízes reais distintas. (Intuição/justificativa curta: se um polinômio não nulo de grau
tivesse mais do que
raízes distintas, a fatoração em termos lineares sobre
ou a divisão por
sucessivamente levaria a um polinômio de grau negativo, o que é impossível; portanto só pode ter no máximo
raízes distintas.)
Além disso,
não é o polinômio nulo porque
para os pontos dados.
Logo,
tem no máximo
raízes reais.
Passo 4
Combinando as duas informações:
- pelo TVI obtemos pelo menos
raízes reais; - pelo fato do grau,
tem no máximo raízes reais.
Portanto
tem exatamente
raízes reais. Como os
intervalos
são disjuntos e cada um contém pelo menos uma raiz, concluímos que há exatamente uma raiz em cada intervalo
; assim as raízes são reais e distintas.
Passo 5
Para fixar a intuição, alguns exemplos rápidos:
- Se
: dois pontos com e . Uma reta que vale num ponto e em outro cruza o eixo uma vez — exatamente raiz real. - Se
: três pontos com valores . Entre e existe uma raiz, entre e existe outra — total raízes reais, que é .
Resposta
d)