Problema 24. (Competição de Olimpiada de Singapura de Matemática - modificada) A equação cúbica 4 x^{3}-3 x-\frac{\sqrt{3}}{2}=0 possui três soluções reais distintas. Utilizando o Teorema de Bolzano combinado com as identidades trigonométricas de arco triplo trabalhadas, a única raiz real estritamente negativa dessa equação vale exatamente:
A) \cos \left(40^{\circ}\right)
B) \cos \left(100^{\circ}\right)
C) \cos \left(140^{\circ}\right)
D) \cos \left(160^{\circ}\right)
E) \cos \left(200^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação cúbica
4x^{3}-3x-\frac{\sqrt{3}}{2}=0
e pede — usando o Teorema de Bolzano e identidades trigonométricas de arco triplo — a única raiz real estritamente negativa dessa equação (apresentada como uma das alternativas com forma \cos(\text{ângulo})â). Informações relevantes fornecidas:
  • O polinômio é f(x)=4x^{3}-3x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Foi afirmado que a equação possui três soluções reais distintas.
  • Quer-se identificar a(s) raiz(es) e, em particular, a(s) estritamente negativa(s) (comparar depois com as alternativas).
    Nada mais é pedido explicitamente.

Passo 2

Vou apresentar e explicar a identidade trigonométrica chave: a identidade do arco triplo para o cosseno.
A identidade é
\cos(3\theta)=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta.
O que isso significa, em palavras simples: se x=\cos\theta, então a combinação cúbica 4x^{3}-3x é exatamente igual a \cos(3\theta). Aqui:
  • \theta é um ângulo (podemos trabalhar em graus ou radianos; usarei graus para combinar com as alternativas).
  • \cos\theta é o cosseno desse ângulo.
    Esta identidade é muito útil porque transforma uma expressão cúbica em uma função trigonométrica mais simples (cosseno de um múltiplo do ângulo).

Passo 3

Aplicando essa ideia à equação dada: se houver uma raiz x com |x|\le1, podemos tentar escrever x=\cos\theta para algum \theta. Substituindo,
4x^{3}-3x = \cos(3\theta).
A equação original 4x^{3}-3x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0 fica então
\cos(3\theta)-\frac{\sqrt{3}}{2}=0,
ou seja
\cos(3\theta)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Agora resolvemos essa equação trigonométrica para 3\theta. Sabemos que \cos\varphi=\dfrac{\sqrt{3}}{2} exatamente quando \varphi é congruente a 30^\circ ou a 360^\circ-30^\circ=330^\circ (mais quaisquer múltiplos integrais de 360^\circ). Portanto
3\theta \equiv 30^\circ \pmod{360^\circ} \quad\text{ou}\quad 3\theta \equiv 330^\circ \pmod{360^\circ}.
Dividindo por 3 (e lembrando das soluções periódicas com período 120^\circ para \theta), obtemos duas famílias de soluções para \theta:
\theta \equiv 10^\circ + 120^\circ k \quad\text{ou}\quad \theta \equiv 110^\circ + 120^\circ k,
para k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Das duas famílias acima, pegamos três representantes distintos no intervalo [0^\circ,360^\circ) (porque para o cosseno as soluções com diferença de 360^\circ ou reflexões geram os mesmos valores de x). Tomando k=0,1,2 em cada família dá os ângulos:
  • Da primeira família ( 10^\circ+120^\circ k): 10^\circ,\;130^\circ,\;250^\circ.
  • Da segunda família ( 110^\circ+120^\circ k): 110^\circ,\;230^\circ,\;350^\circ.
Agora observação importante sobre o cosseno: \cos\theta=\cos(360^\circ-\theta). Assim, muitos desses ângulos dão o mesmo valor de x. As três valores distintos de x=\cos\theta que surgem são (suficientes escolher três ângulos espaçados por 120^\circ):
x=\cos 10^\circ,\qquad x=\cos 110^\circ,\qquad x=\cos 230^\circ.
Podemos verificar numericamente (apenas para intuição):
  • \cos 10^\circ\approx 0,9848 (positivo),
  • \cos 110^\circ\approx -0,3420 (negativo),
  • \cos 230^\circ\approx -0,6428 (negativo).
    Logo temos três raízes reais distintas e duas delas são estritamente negativas.

Passo 5

Agora uso o Teorema de Bolzano (teorema do valor intermediário aplicado a polinômios): para garantir a existência de raízes em certos intervalos, calculo sinais de f(x)=4x^{3}-3x-\dfrac{\sqrt{3}}{2} em pontos chave.
  • f(1)=4-3-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 1-0,8660=0,1340>0.
  • f(0)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx -0,8660<0.
    Logo, por Bolzano, existe uma raiz em (0,1) (essa é \cos 10^\circ>0).
    Agora para negativos:
  • f(-1)=4(-1)^{3}-3(-1)-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-4+3-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx -1,8660<0.
  • f(-\tfrac{1}{2})=4(-\tfrac{1}{8})-3(-\tfrac{1}{2})-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-\tfrac{1}{2}+ \tfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,1340>0.
    Como f(-1)<0 e f(-\tfrac{1}{2})>0, por Bolzano existe uma raiz em (-1,-\tfrac{1}{2}). Como f(-\tfrac{1}{2})>0 e f(0)<0, por Bolzano existe outra raiz em (- \tfrac{1}{2},0). Assim, há exatamente duas raízes negativas, uma em cada intervalo acima — concordando com as duas soluções trigonométricas negativas encontradas em \cos 110^\circ e \cos 230^\circ.

Passo 6

Conclusão e correspondência exata: as três raízes reais da equação são exatamente
x=\cos 10^\circ,\qquad x=\cos 110^\circ,\qquad x=\cos 230^\circ.
As raízes estritamente negativas são, portanto, \cos 110^\circ e \cos 230^\circ. (Ambas são valores exatos — não são aproximações — porque decorrem da identidade do arco triplo.)

Resposta

\cos 110^\circ
\cos 230^\circ

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