Problema 24. (Competição de Olimpiada de Singapura de Matemática - modificada) A equação cúbica
possui três soluções reais distintas. Utilizando o Teorema de Bolzano combinado com as identidades trigonométricas de arco triplo trabalhadas, a única raiz real estritamente negativa dessa equação vale exatamente:
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado dá a equação cúbica
e pede — usando o Teorema de Bolzano e identidades trigonométricas de arco triplo — a única raiz real estritamente negativa dessa equação (apresentada como uma das alternativas com forma
). Informações relevantes fornecidas:
- O polinômio é
. - Foi afirmado que a equação possui três soluções reais distintas.
- Quer-se identificar a(s) raiz(es) e, em particular, a(s) estritamente negativa(s) (comparar depois com as alternativas).
Nada mais é pedido explicitamente.
Passo 2
Vou apresentar e explicar a identidade trigonométrica chave: a identidade do arco triplo para o cosseno.
A identidade é
A identidade é
O que isso significa, em palavras simples: se
, então a combinação cúbica
é exatamente igual a
. Aqui:
-
é um ângulo (podemos trabalhar em graus ou radianos; usarei graus para combinar com as alternativas). -
é o cosseno desse ângulo.
Esta identidade é muito útil porque transforma uma expressão cúbica em uma função trigonométrica mais simples (cosseno de um múltiplo do ângulo).
Passo 3
Aplicando essa ideia à equação dada: se houver uma raiz
com
, podemos tentar escrever
para algum
. Substituindo,
A equação original
fica então
ou seja
Agora resolvemos essa equação trigonométrica para
. Sabemos que
exatamente quando
é congruente a
ou a
(mais quaisquer múltiplos integrais de
). Portanto
Dividindo por
(e lembrando das soluções periódicas com período
para
), obtemos duas famílias de soluções para
:
para
.
Passo 4
Das duas famílias acima, pegamos três representantes distintos no intervalo
(porque para o cosseno as soluções com diferença de
ou reflexões geram os mesmos valores de
). Tomando
em cada família dá os ângulos:
- Da primeira família (
): . - Da segunda família (
): .
Agora observação importante sobre o cosseno:
. Assim, muitos desses ângulos dão o mesmo valor de
. As três valores distintos de
que surgem são (suficientes escolher três ângulos espaçados por
):
Podemos verificar numericamente (apenas para intuição):
-
(positivo), -
(negativo), -
(negativo).
Logo temos três raízes reais distintas e duas delas são estritamente negativas.
Passo 5
Agora uso o Teorema de Bolzano (teorema do valor intermediário aplicado a polinômios): para garantir a existência de raízes em certos intervalos, calculo sinais de
em pontos chave.
-
-
Logo, por Bolzano, existe uma raiz em(essa é ).
Agora para negativos: -
-
Comoe , por Bolzano existe uma raiz em . Como e , por Bolzano existe outra raiz em . Assim, há exatamente duas raízes negativas, uma em cada intervalo acima — concordando com as duas soluções trigonométricas negativas encontradas em e .
Passo 6
Conclusão e correspondência exata: as três raízes reais da equação são exatamente
As raízes estritamente negativas são, portanto,
e
. (Ambas são valores exatos — não são aproximações — porque decorrem da identidade do arco triplo.)