(Competição de Olimpíada de Matemática Chinesa - modificada) Seja
. O número exato de raízes reais que a equação
possui no intervalo
é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede o número exato de raízes reais da equação
no intervalo
. As alternativas são:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Informações relevantes fornecidas:
- A função considerada é o polinômio
. - O intervalo de interesse é
. - Quer-se o número exato de soluções reais de
dentro desse intervalo.
Passo 2
Vamos estudar a derivada
para entender o comportamento (crescente/decrescente) de
. Calcular a derivada e fatorá-la:
Explicando cada passo: a derivada de
é
, a derivada de
é
e de
é
. Fatorou-se
como diferença de quadrados duas vezes:
.
Passo 3
Encontrar os pontos críticos reais onde
. Da fatoração:
Como
para todo
real, as soluções reais vêm de
, ou seja:
Portanto, os únicos pontos onde a derivada se anula (pontos críticos reais) são
e
.
Passo 4
Determinar o sinal de
nos intervalos formados por esses pontos críticos para inferir monotonicidade:
- Para
(por exemplo ), tem-se , logo . - Para
(por exemplo ), tem-se , logo .
Assim:
- Em
: ⇒ é estritamente crescente ali. - Em
: ⇒ é estritamente decrescente ali. - Em
: ⇒ é estritamente crescente ali.
Interpretação prática: o gráfico de
aumenta até
(possui um máximo local em
), depois decresce até
(mínimo local em
), e em seguida cresce para
. Isso limita quantas vezes a curva pode cortar o eixo
: no máximo uma vez em cada um dos intervalos
,
e
.
Passo 5
Usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) avaliando
em pontos-chaves do intervalo
. Calcular valores exatos:
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Agora observar sinais:
-
e ⇒ há pelo menos uma raiz em pelo TVI. -
e ⇒ nenhum zero garantido em (sinais iguais). -
e ⇒ há pelo menos uma raiz em . -
e ⇒ há pelo menos uma raiz em .
Portanto existem pelo menos três raízes distintas em
: uma em cada um dos intervalos
,
e
.
Passo 6
Mostrar que não pode haver mais do que essas três raízes dentro de
.
Argumento 1 (monotonicidade): dentro de cada um dos subintervalos
,
e
a função é estritamente monotônica (cresce em
, decresce em
, cresce em
). Uma função estritamente monotônica em um intervalo não pode ter mais de uma raiz nesse intervalo. Assim no máximo uma raiz em cada subintervalo acima ⇒ no máximo 3 raízes em
.
Argumento 2 (Rolle, alternativa): se existissem
raízes distintas em
, então entre quaisquer duas raízes consecutivas haveria ao menos um ponto onde
(Teorema de Rolle), o que exigiria pelo menos
pontos críticos distintos no intervalo; mas já vimos que
se anula somente em
e
(2 pontos). Contradição. Logo não há mais que
raízes.
Combinando Passo 5 (pelo menos 3 raízes) e Passo 6 (no máximo 3 raízes), concluímos que há exatamente 3 raízes reais de
em
.
Passo 7
Resumo final e motivação rápida para a prova: a ideia prática que devemos levar para a prova é — estudar
para saber onde
é monotônica; avaliar
em pontos estratégicos para usar o Teorema do Valor Intermediário e garantir a existência de raízes; e usar monotonicidade (ou Rolle) para limitar quantas raízes podem existir. Neste problema isso dá exatamente três raízes em
. Força aí — você já viu a receita completa que costuma cair em provas!
Resposta
c) 3