(Competição de Olimpíada de Matemática Chinesa - modificada) Seja P(x)=x^{5}-5 x+1. O número exato de raízes reais que a equação P(x)=0 possui no intervalo [-2,2] é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Passo 1

O enunciado dá o polinômio P(x)=x^{5}-5x+1 e pede o número exato de raízes reais da equação P(x)=0 no intervalo [-2,2]. As alternativas são:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Informações relevantes fornecidas:
  • A função considerada é o polinômio P(x)=x^{5}-5x+1.
  • O intervalo de interesse é [-2,2].
  • Quer-se o número exato de soluções reais de P(x)=0 dentro desse intervalo.

Passo 2

Vamos estudar a derivada P'(x) para entender o comportamento (crescente/decrescente) de P. Calcular a derivada e fatorá-la:
P'(x)=5x^{4}-5=5\bigl(x^{4}-1\bigr)=5\bigl(x^{2}-1\bigr)\bigl(x^{2}+1\bigr).
Explicando cada passo: a derivada de x^{5} é 5x^{4}, a derivada de -5x é -5 e de 1 é 0. Fatorou-se x^{4}-1 como diferença de quadrados duas vezes: x^{4}-1=(x^{2}-1)(x^{2}+1).

Passo 3

Encontrar os pontos críticos reais onde P'(x)=0. Da fatoração:
5\bigl(x^{2}-1\bigr)\bigl(x^{2}+1\bigr)=0.
Como x^{2}+1>0 para todo x real, as soluções reais vêm de x^{2}-1=0, ou seja:
x=\pm 1.
Portanto, os únicos pontos onde a derivada se anula (pontos críticos reais) são x=-1 e x=1.

Passo 4

Determinar o sinal de P'(x) nos intervalos formados por esses pontos críticos para inferir monotonicidade:
  • Para |x|>1 (por exemplo x=2), tem-se x^{4}-1>0, logo P'(x)>0.
  • Para |x|<1 (por exemplo x=0), tem-se x^{4}-1<0, logo P'(x)<0.
Assim:
  • Em (-\infty,-1): P'(x)>0 P é estritamente crescente ali.
  • Em (-1,1): P'(x)<0 P é estritamente decrescente ali.
  • Em (1,\infty): P'(x)>0 P é estritamente crescente ali.
Interpretação prática: o gráfico de P aumenta até x=-1 (possui um máximo local em x=-1), depois decresce até x=1 (mínimo local em x=1), e em seguida cresce para +\infty. Isso limita quantas vezes a curva pode cortar o eixo x: no máximo uma vez em cada um dos intervalos (-\infty,-1), (-1,1) e (1,\infty).

Passo 5

Usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) avaliando P em pontos-chaves do intervalo [-2,2]. Calcular valores exatos:
Calcular P(-2):
P(-2)=(-2)^{5}-5(-2)+1=-32+10+1=-21.
Calcular P(-1):
P(-1)=(-1)^{5}-5(-1)+1=-1+5+1=5.
Calcular P(0):
P(0)=0^{5}-5\cdot 0+1=1.
Calcular P(1):
P(1)=1^{5}-5\cdot 1+1=1-5+1=-3.
Calcular P(2):
P(2)=2^{5}-5\cdot 2+1=32-10+1=23.
Agora observar sinais:
  • P(-2)=-21<0 e P(-1)=5>0 ⇒ há pelo menos uma raiz em (-2,-1) pelo TVI.
  • P(-1)=5>0 e P(0)=1>0 ⇒ nenhum zero garantido em (-1,0) (sinais iguais).
  • P(0)=1>0 e P(1)=-3<0 ⇒ há pelo menos uma raiz em (0,1).
  • P(1)=-3<0 e P(2)=23>0 ⇒ há pelo menos uma raiz em (1,2).
Portanto existem pelo menos três raízes distintas em [-2,2]: uma em cada um dos intervalos (-2,-1), (0,1) e (1,2).

Passo 6

Mostrar que não pode haver mais do que essas três raízes dentro de [-2,2].
Argumento 1 (monotonicidade): dentro de cada um dos subintervalos (-2,-1), (-1,1) e (1,2) a função é estritamente monotônica (cresce em (-2,-1), decresce em (-1,1), cresce em (1,2)). Uma função estritamente monotônica em um intervalo não pode ter mais de uma raiz nesse intervalo. Assim no máximo uma raiz em cada subintervalo acima ⇒ no máximo 3 raízes em [-2,2].
Argumento 2 (Rolle, alternativa): se existissem 4 raízes distintas em [-2,2], então entre quaisquer duas raízes consecutivas haveria ao menos um ponto onde P'(x)=0 (Teorema de Rolle), o que exigiria pelo menos 3 pontos críticos distintos no intervalo; mas já vimos que P' se anula somente em x=-1 e x=1 (2 pontos). Contradição. Logo não há mais que 3 raízes.
Combinando Passo 5 (pelo menos 3 raízes) e Passo 6 (no máximo 3 raízes), concluímos que há exatamente 3 raízes reais de P(x)=0 em [-2,2].

Passo 7

Resumo final e motivação rápida para a prova: a ideia prática que devemos levar para a prova é — estudar P' para saber onde P é monotônica; avaliar P em pontos estratégicos para usar o Teorema do Valor Intermediário e garantir a existência de raízes; e usar monotonicidade (ou Rolle) para limitar quantas raízes podem existir. Neste problema isso dá exatamente três raízes em [-2,2]. Força aí — você já viu a receita completa que costuma cair em provas!

Resposta

c) 3

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