Uma onda em uma corda de comprimento de 270 cm e uma massa de 5400 g , respeita a seguinte função:
. Pede-se aproximadamente: potência média transmitida pela corda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão envolve uma onda em uma corda e pede para calcular a potência média transmitida por ela. Vamos trabalhar com conceitos de ondas mecânicas, especificamente sobre a energia e potência em ondas em cordas. Para resolver isso, precisaremos entender a função da onda fornecida, calcular a densidade linear de massa da corda, identificar a amplitude, a frequência angular e o número de onda, e finalmente usar esses valores na fórmula da potência média.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função da onda dada:
Aqui, sabemos que:
- A amplitude $ A $ é $ 4,6 , nm $.
- O número de onda $ k $ é $ 0,0314 , cm^{-1} $.
- A frequência angular $ \omega $ é $ 12,57 , s^{-1} $.
Passo 3
Vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos:
- Comprimento da corda $ L = 270 , cm = 2,7 , m $.
- Massa da corda $ M = 5400 , g = 5,4 , kg $.
- Número de onda $ k = 0,0314 , cm^{-1} = 3,14 , m^{-1} $.
- Amplitude $ A = 4,6 , nm = 4,6 \times 10^{-9} , m $.
Passo 4
Agora, vamos calcular a densidade linear de massa $ \mu $, que é a massa por unidade de comprimento da corda:
Passo 5
Em seguida, precisamos encontrar a velocidade da onda $ v $. A relação entre a velocidade da onda, a frequência angular e o número de onda é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos usar a fórmula da potência média $ P_{média} $ transmitida por uma onda em uma corda:
Substituindo todos os valores que já calculamos:
Passo 7
Vamos calcular passo a passo:
- $ \omega^2 = (12,57)^2 \approx 158,05 , s^{-2} $
- $ A^2 = (4,6 \times 10{-9})2 = 21,16 \times 10^{-18} , m^2 $
- Multiplicando todos os valores:
Resposta
A potência média transmitida pela corda é aproximadamente $ 1,34 \times 10^{-14} , W $.