Uma onda em uma corda de comprimento de 270 cm e uma massa de 5400 g , respeita a seguinte função: y(x, t)=4,6 n m cos (0,0314 cm^wed>=-1) x+(12,57 s^wed>=-1) t. Pede-se aproximadamente: potência média transmitida pela corda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão envolve uma onda em uma corda e pede para calcular a potência média transmitida por ela. Vamos trabalhar com conceitos de ondas mecânicas, especificamente sobre a energia e potência em ondas em cordas. Para resolver isso, precisaremos entender a função da onda fornecida, calcular a densidade linear de massa da corda, identificar a amplitude, a frequência angular e o número de onda, e finalmente usar esses valores na fórmula da potência média.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função da onda dada:
y(x, t) = 4,6 , nm cdot cos (0,0314 , cm^-1) x + (12,57 , s^-1) t
Aqui, sabemos que:
  • A amplitude $ A $ é $ 4,6 , nm $.
  • O número de onda $ k $ é $ 0,0314 , cm^{-1} $.
  • A frequência angular $ \omega $ é $ 12,57 , s^{-1} $.

Passo 3

Vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos:
  • Comprimento da corda $ L = 270 , cm = 2,7 , m $.
  • Massa da corda $ M = 5400 , g = 5,4 , kg $.
  • Número de onda $ k = 0,0314 , cm^{-1} = 3,14 , m^{-1} $.
  • Amplitude $ A = 4,6 , nm = 4,6 \times 10^{-9} , m $.

Passo 4

Agora, vamos calcular a densidade linear de massa $ \mu $, que é a massa por unidade de comprimento da corda:
mu

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar a velocidade da onda $ v $. A relação entre a velocidade da onda, a frequência angular e o número de onda é dada por:
v
Substituindo os valores:
v = omegak

Passo 6

Agora, vamos usar a fórmula da potência média $ P_{média} $ transmitida por uma onda em uma corda:
Pmédia é
Substituindo todos os valores que já calculamos:
Pmédia = 12 mu omega^2 A^2 v é

Passo 7

Vamos calcular passo a passo:
  1. $ \omega^2 = (12,57)^2 \approx 158,05 , s^{-2} $
  2. $ A^2 = (4,6 \times 10{-9})2 = 21,16 \times 10^{-18} , m^2 $
  3. Multiplicando todos os valores:
omega^2 = (12,57)^2 approx 158,05 , s^-2 é
A^2 = (4,6 times 10^-9)^2 = 21,16 times 10^-18 , m^2 é
Pmédia = 12 times 2,0 times 158,05 times 21,16 times 10^-18 times 4,0 é

Resposta

A potência média transmitida pela corda é aproximadamente $ 1,34 \times 10^{-14} , W $.

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