Uma onda eletromagnética harmônica plana de frequência 600 times 10^12 Hz, se propaga no sentido positivo da direção x no vácuo, e tem um campo elétrico de amplitude 42,42 V / m. A onda está linearmente polarizada de modo que o plano de vibração do campo elétrico forma o ângulo de 45^circ no plano yz. Escreva as expressões para os vetores campo elétrico e campo magnético.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre ondas eletromagnéticas. A parada é que temos uma onda eletromagnética que se propaga na direção positiva do eixo x no vácuo, com uma frequência de 600 times 10^12 Hz e um campo elétrico com amplitude de 42,42 V/m. Além disso, a onda está polarizada de forma que o plano de vibração do campo elétrico faz um ângulo de 45 graus no plano yz. Nosso objetivo é escrever as expressões para os vetores campo elétrico ( E) e campo magnético ( B) dessa onda. Para resolver isso, vamos precisar entender como as ondas eletromagnéticas se comportam no vácuo, a relação entre os campos elétrico e magnético, e como a polarização afeta as direções desses campos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma onda eletromagnética no vácuo, os campos elétrico ( E) e magnético ( B) são perpendiculares entre si e também perpendiculares à direção de propagação da onda. Como a onda está se propagando na direção positiva do eixo x, isso significa que os campos E e B estarão nas direções y e z, mas a polarização de 45 graus no plano yz nos indica como esses campos estão orientados dentro desse plano.

Passo 3

A polarização linear com um ângulo de 45 graus no plano yz significa que tanto o componente y quanto o componente z do campo elétrico têm a mesma amplitude e estão em fase. Podemos expressar o campo elétrico E como uma combinação desses dois componentes:
E(x, t) = E0 cdot cos(omega t - kx) ( cos(45^circ) y + sin(45^circ) z )
Aqui, E0 = 42,42 , V/m é a amplitude do campo elétrico, omega é a frequência angular, k é o número de onda, e y e z são os vetores unitários nas direções y e z, respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular omega e k para completar a expressão. A frequência angular omega está relacionada à frequência linear f pela fórmula:
omega = 2pi f
Substituindo f = 600 times 10^12 , Hz:
omega = 2pi times 600 times 10^12 approx 3,7699 times 10^15 , rad/s
No vácuo, a velocidade da luz c é aproximadamente 3 times 10^8 , m/s, e o número de onda k é dado por:
k = omegac
Substituindo os valores:
k = 3,7699 times 10^153 times 10^8 approx 1,2566 times 10^7 , rad/m

Passo 5

Agora que temos omega e k, podemos escrever completamente a expressão para o campo elétrico E:
E(x, t) = 42,42 , V/m cdot cos(3,7699 times 10^15 t - 1,2566 times 10^7 x) ( raiz22 y + raiz22 z )
A razão raiz22 vem de cos(45^circ) e sin(45^circ), que são iguais e valem raiz22.

Passo 6

Para encontrar o campo magnético B, usamos a relação entre os campos elétrico e magnético em uma onda eletromagnética no vácuo:
B = 1c k times E
Onde k é o vetor unitário na direção de propagação (no caso, x) e times representa o produto vetorial. Calculando:
B(x, t) = 13 times 10^8 x times [42,42 , V/m cdot cos(3,7699 times 10^15 t - 1,2566 times 10^7 x) ( raiz22 y + raiz22 z ) ]

Passo 7

Resolvendo o produto vetorial x times y = z e x times z = -y, temos:
B(x, t) = 42,423 times 10^8 cdot cos(3,7699 times 10^15 t - 1,2566 times 10^7 x) ( raiz22 z - raiz22 y )
Simplificando os coeficientes:
B(x, t) = 1,414 times 10^-7 , T cdot cos(3,7699 times 10^15 t - 1,2566 times 10^7 x) ( z - y )

Resposta

As expressões para os vetores campo elétrico e campo magnético são:
E(x, t) = 42,42 , V/m cdot cos(3,77 times 10^15 t - 1,26 times 10^7 x) ( raiz22 y + raiz22 z )
B(x, t) = 1,41 times 10^-7 , T cdot cos(3,77 times 10^15 t - 1,26 times 10^7 x) ( z - y )

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