Uma onda eletromagnética harmônica plana propaga-se num meio com mu=muo e tem seu campo elétrico dado por (unidades do sistema MKS):
Ex=0,5 sen(4 pi5 z-2 pi 10^8 t) ; Ey=Ez=0. Calcule:
o índice de refração e a constante dielétrica kappa=varepsilon / varepsilono do meio
Dado: c=3 cdot 10^8 m / s.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma onda eletromagnética harmônica que se propaga num meio com permeabilidade magnética igual à do vácuo ( mu = muo). A onda tem apenas componente do campo elétrico na direção x, dada por:
Ex = 0,5 , sin(4pi5 z - 2pi times 10^8 t)
As outras componentes do campo elétrico são nulas ( Ey = Ez = 0). A gente precisa calcular dois valores importantes desse meio:
  1. O índice de refração ( n).
  2. A constante dielétrica ( kappa = varepsilonvarepsilono).
Para isso, vamos usar conceitos de ondas eletromagnéticas em meios materiais, relacionando a velocidade da onda, as propriedades do meio e as constantes elétricas e magnéticas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a frequência angular e o número de onda da onda eletromagnética. A expressão da onda é:
Ex = 0,5 , sin(4pi5 z - 2pi times 10^8 t)
Comparando com a forma geral da onda harmônica:
E = E0 sin(k z - omega t)
Podemos identificar:
  • Número de onda k = 4pi5 rad/m
  • Frequência angular omega = 2pi times 10^8 rad/s

Passo 3

Sabemos que a velocidade de propagação da onda ( v) está relacionada pelo número de onda e frequência angular pela relação:
v = omegak
Vamos calcular v:
v = 2pi times 10^84pi5 = 2pi times 10^8 times 54pi
Cancelando pi:
v = 2 times 54 times 10^8 = 104 times 10^8 = 2,5 times 10^8 , m/s

Passo 4

Agora, vamos relacionar a velocidade da onda no meio ( v) com o índice de refração ( n). A velocidade no vácuo ( c) é dada, e a relação entre elas é:
n = cv
Substituindo os valores:
n = 3 times 10^82,5 times 10^8 = 1,2

Passo 5

Para encontrar a constante dielétrica kappa, usamos a relação entre a velocidade da luz no meio e as constantes dielétrica ( varepsilon) e magnética ( mu):
v = 1raizvarepsilon mu
Sabemos que mu = mu0, então:
v = 1raizvarepsilon mu0
Rearranjando para varepsilon:
varepsilon = 1v^2 mu0
A constante dielétrica relativa é:
kappa = varepsilonvarepsilon0
Sabendo que mu0 varepsilon0 = 1c^2, podemos substituir:
kappa = varepsilonvarepsilon0 = 1v^2 mu0varepsilon0 = c^2v^2
Substituindo c = 3 times 10^8 m/s e v = 2,5 times 10^8 m/s:
kappa = (3 times 10^82,5 times 10^8)^2 = (32,5)^2 = (1,2)^2 = 1,44

Resposta

O índice de refração do meio é n = 1,2 e a constante dielétrica é kappa = 1,44.

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