Uma onda eletromagnética plana é dada por:
\begin{gathered} \vec{E}=2 \sin \left(\frac{2 \pi}{\lambda} y+4 \pi \times 10^{15} t\right) \hat{z} \quad \mathrm{~V} / \mathrm{m} \\\ \vec{B}=\vec{B}_{0} \sin \left(\frac{2 \pi}{\lambda} y+4 \pi \times 10^{15} t\right) \mathrm{T} \end{gathered}
a) Em que direção a onda se propaga?
b) Qual é o vetor \vec{B}_{0} (módulo e direção)?
c) Qual é o comprimento de onda da onda (em metros)?

Passo 1

O enunciado dá uma onda eletromagnética plana com
\vec{E}(y,t)=2\sin\Bigl(\tfrac{2\pi}{\lambda}y+4\pi\times10^{15}t\Bigr)\,\hat z \quad\text{e}\quad \vec{B}(y,t)=\vec B_{0}\,\sin\Bigl(\tfrac{2\pi}{\lambda}y+4\pi\times10^{15}t\Bigr).
Aqui precisamos:
– Determinar a direção de propagação a partir do sinal na fase \tfrac{2\pi}{\lambda}y+4\pi\times10^{15}t.
– Usar a relação \displaystyle B_{0}=\frac{E_{0}}{c} e a regra da mão direita para achar \vec B_{0}.
– Extrair \lambda da relação \omega=c\,k, com \omega=4\pi\times10^{15}\,\mathrm{rad/s} e k=2\pi/\lambda.

Passo 2

Num avanço de fase usual teríamos \varphi=k\,y-\omega\,t para propagação em +y. Aqui a fase é \varphi=k\,y+\omega\,t, o que equivale a \varphi=k\,y-(-\omega)\,t. Logo a onda se propaga em direção oposta a +y, ou seja, em -\hat y.

Passo 3

O módulo de \vec B_{0} vem de
B_{0}=\frac{E_{0}}{c} \quad\text{com}\quad E_{0}=2\\ \mathrm{V/m},\;c=3\times10^{8}\,\mathrm{m/s},
portanto
B_{0}=\frac{2}{3\times10^{8}} =6{,}67\times10^{-9}\,\mathrm{T}.

Passo 4

Para achar a direção de \vec B_{0} usamos a regra da mão direita: em uma onda plana em vácuo
\hat k = \frac{\vec E}{E_{0}}\times\frac{\vec B}{B_{0}}.
Como \hat k=-\hat y e \vec E\parallel\hat z, deve ser \vec B_{0}\parallel\hat x com sinal tal que \hat z\times(\pm\hat x)=-\hat y. Testando, \hat z\times(-\hat x)=-\hat y,
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\vec B_{0}=-6{,}67\times10^{-9}\,\hat x\\ \mathrm T.

Passo 5

Extraímos \lambda de \omega=c\,k com \omega=4\pi\times10^{15} e k=2\pi/\lambda:
4\pi\times10^{15} =3\times10^{8}\,\frac{2\pi}{\lambda} \;\Longrightarrow\; \lambda =\frac{2\pi\,3\times10^{8}}{4\pi\times10^{15}} =1{,}5\times10^{-7}\,\mathrm m.

Resposta

a) A onda se propaga em -\hat y.
b) \displaystyle \vec B_{0}=-6{,}67\times10^{-9}\,\hat x\\ \mathrm T.
c) \displaystyle \lambda=1{,}5\times10^{-7}\,\mathrm m.

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