O que significa dizer que uma onda eletromagnética pode ser uma onda plana? Qual é a representação geral de uma onda eletromagnética desse tipo?

Passo 1

O enunciado pergunta o que significa uma onda eletromagnética ser plana e qual é a sua forma geral. O conteúdo envolve ondas eletromagnéticas em meios homogêneos, mais precisamente a ideia de superfícies de fase planas e a representação de campos elétrico \mathbf{E} e magnético \mathbf{B} que dependem apenas da combinação \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t.

Passo 2

Dizemos que uma onda é plana quando todas as superfícies de fase \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t=\text{constante} são planos paralelos. Aqui \mathbf{k} é o vetor de onda (direção de propagação e módulo \lvert\mathbf{k}\rvert = k = \omega/v) e \omega é a frequência angular. A dependência do campo é então só pela variável de fase \varphi=\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t.

Passo 3

A representação geral de um campo elétrico de onda plana, para qualquer forma de pulso ou modulação f, é
\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathbf{E}_{0}\,f\bigl(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t\bigr),
onde \mathbf{E}_{0} é um vetor constante que define amplitude e polarização. No caso monofrequencial senoidal, escolhemos
\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathbf{E}_{0}\cos\!\bigl(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t+\phi_{0}\bigr).

Passo 4

O campo magnético associado é obtido por
\mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\mathbf{B}_{0}\cos\!\bigl(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t+\phi_{0}\bigr),
com
\mathbf{B}_{0}=\frac{1}{\omega}\,\mathbf{k}\times\mathbf{E}_{0} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{B}_{0}=\frac{1}{c}\,\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E}_{0} \quad(\text{no vácuo}).á
Isso garante \mathbf{E}\perp\mathbf{k}, \mathbf{B}\perp\mathbf{k} e \mathbf{E}\perp\mathbf{B}.

Resposta

Uma onda eletromagnética é dita plana quando suas superfícies de fase \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t= constante são planos paralelos, ou seja, o campo depende apenas de \varphi=\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t. A forma geral é
\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathbf{E}_{0}\,f\bigl(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t\bigr), \quad \mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{\omega}\,\mathbf{k}\times\mathbf{E}_{0}\;f\bigl(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t\bigr),
e, para senoide,
\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathbf{E}_{0}\cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t+\phi_{0}), \quad \mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{c}\,\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E}_{0}\cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t+\phi_{0}).

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