Uma onda eletromagnética plana estacionária é dada por
\vec{E}=3 \cos \left(\frac{\pi}{2} y\right) \sin \left(10^{8} \pi t\right) \hat{z} \quad \mathrm{~V} / \mathrm{m}
y está em metros, t em segundos e todos os ângulos estão em radianos.
a) Qual é o comprimento de onda (em metros) da onda?
b) Qual é o valor máximo (em \mathrm{V} / \mathrm{m} ) que o campo elétrico pode atingir na posição x= 3 \mathrm{~m}, y=0,5 \mathrm{~m}, z=2 \mathrm{~m} ?

Passo 1

O enunciado nos dá uma onda estacionária no eixo y descrita por
\vec{E}(y,t)=3\cos\Bigl(\tfrac{\pi}{2}y\Bigr)\,\sin\bigl(10^{8}\pi\,t\bigr)\,\hat{z}\quad\text{(V/m)}.
Para encontrar o comprimento de onda precisamos usar a relação entre o número de onda k e \lambda. Para achar o valor máximo do campo em (x=3,y=0,5,z=2) basta avaliar o fator espacial em y=0,5 e reconhecer que \sin(\omega t) varia entre -1 e 1.

Passo 2

Identificamos o número de onda
k=\frac{\pi}{2}\quad\bigl(\text{rad/m}\bigr)
e usamos
\lambda=\frac{2\pi}{k}.
Logo,
\lambda=\frac{2\pi}{\pi/2}=4\\ \text{m}.

Passo 3

No ponto indicado y=0,5 o fator espacial vale
\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\cdot0,5\Bigr)=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\frac{\sqrt{2}}{2},
então a amplitude espacial local do campo é
E_{0,\text{local}}=3\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\\ \text{(V/m)}.

Passo 4

Como o fator temporal \sin(10^{8}\pi t) atinge no máximo \pm1, o valor máximo do módulo de \vec{E} nesse ponto é
E_{\max}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\\ \text{V/m}\approx2{,}12\\ \text{V/m}.
Note que x e z não aparecem na expressão de \vec{E}, então são irrelevantes para o valor do campo.

Resposta

a) 4 m
b) \displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}\\ \text{V/m}\approx2{,}12\\ \text{V/m}

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