Um solenóide longo tem n espiras por unidade de comprimento e é percorrido por uma corrente I=I0 sen(v t). O solenóide tem seção reta circular de raio R. Determine o valor do campo elétrico induzido a uma distância r do eixo do solenóide para:
r

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um solenóide longo com espiras por unidade de comprimento e uma corrente que varia no tempo como . Queremos encontrar o campo elétrico induzido a uma distância do eixo do solenóide, onde (ou seja, dentro do solenóide). Para resolver isso, vamos usar a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética e entender como o campo magnético variável gera um campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo magnético B = mu0 n I dentro do solenóide. Para um solenóide longo com corrente constante, o campo magnético é dado por:
B(t) = mu0 n I0 sen(v t)
Mas aqui a corrente não é constante, ela varia no tempo como . Então, o campo magnético também varia no tempo:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei de Faraday. Ela nos diz que a força eletromotriz induzida E = -dPhiBdt em um laço é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético através desse laço:
PhiB = B(t) cdot pi r^2 = mu0 n I0 sen(v t) cdot pi r^2
O fluxo magnético E = -ddt ( mu0 n I0 sen(v t) cdot pi r^2 ) = -mu0 n I0 pi r^2 v cos(v t) através de um círculo de raio dentro do solenóide é:
Então, a força eletromotriz fica:

Passo 4

A força eletromotriz também está relacionada ao campo elétrico E = E cdot 2pi r e ao comprimento do percurso. Como estamos considerando um campo elétrico circular simétrico, temos:
E cdot 2pi r = -mu0 n I0 pi r^2 v cos(v t)
Igualando as duas expressões para E = -mu0 n I0 v r cos(v t)2 :
E(r, t) = 12 mu0 n I0 v r cos(v t)
Resolvendo para :
Como pode ser positivo ou negativo dependendo do tempo, podemos considerar apenas a magnitude:

Resposta

O campo elétrico induzido a uma distância E(r, t) = 12 mu0 n I0 v r cos(v t) do eixo do solenóide, para , é dado por:

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