Um solenóide longo tem
espiras por unidade de comprimento e é percorrido por uma corrente
. O solenóide tem seção reta circular de raio R. Determine o valor do campo elétrico induzido a uma distância r do eixo do solenóide para:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um solenóide longo com
espiras por unidade de comprimento e uma corrente que varia no tempo como . Queremos encontrar o campo elétrico induzido a uma distância
do eixo do solenóide, onde
(ou seja, dentro do solenóide). Para resolver isso, vamos usar a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética e entender como o campo magnético variável gera um campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o campo magnético
dentro do solenóide. Para um solenóide longo com corrente constante, o campo magnético é dado por:
Mas aqui a corrente
não é constante, ela varia no tempo como . Então, o campo magnético também varia no tempo:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Lei de Faraday. Ela nos diz que a força eletromotriz induzida
em um laço é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético através desse laço:
O fluxo magnético
através de um círculo de raio
dentro do solenóide é:
Então, a força eletromotriz fica:
Passo 4
A força eletromotriz também está relacionada ao campo elétrico
e ao comprimento do percurso. Como estamos considerando um campo elétrico circular simétrico, temos:
Igualando as duas expressões para
:
Resolvendo para
:
Como
pode ser positivo ou negativo dependendo do tempo, podemos considerar apenas a magnitude:
Resposta
O campo elétrico induzido a uma distância
do eixo do solenóide, para
, é dado por: