Pretende-se encher um colchão de ar de dimensões A22 x L137 x C191cm que encontra-se totalmente vazio (achatada e dobrada na embalagem) com uma bomba de ar de dimensões:
de simples ação (bombeia ar somente no avanço) para sustentar um homem de 120 Kg cuja área de apoio sobre o colchão quando deitado foi estimado em (Largura média 30 cm x Altura 180 cm ) em
. Sem poder medir a pressão de calibração do colchão, estimar o número mínimo de bombadas necessário para encher o colchão com pressão suficiente para equilibrar o peso da pessoa que irá usar o colchão.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Estimar o número mínimo de bombadas necessárias para encher o colchão com pressão suficiente para equilibrar o peso de um homem de
.
Informações fornecidas (vou listar tudo e indicar de onde vem):
- Massa da pessoa:
(dado do enunciado). - Área de apoio da pessoa sobre o colchão:
(dado do enunciado). - Dimensões do colchão (quando inflado):
(dado do enunciado). - Dimensões da bomba (peguei da imagem/enunciado): diâmetro
e curso . Observação do enunciado: bomba de simples ação (bombeia apenas na avanço), logo cada avanço efetivamente insere ar equivalente ao volume do cilindro da bomba. - Pressão atmosférica padrão que vamos usar:
(valor padrão adotado). - O enunciado não fornece a pressão de calibração do colchão: por isso vamos estimar a pressão mínima interna necessária para equilibrar o peso usando a relação força = pressão × área e, para relacionar volumes e pressões, assumiremos enchimento aproximadamente isotérmico (temperatura constante) e que cada bombada adiciona um volume de ar equivalente ao deslocamento da bomba na condição atmosférica.
Nada mais foi omitido nem pedido pelo enunciado; a partir daqui começo a resolução.
Passo 2
Converter unidades e calcular a força peso que precisa ser sustentada:
- A força peso é
, onde é a massa e é a aceleração da gravidade. Vou usar . - Calcular:
Explicação didática: a massa em quilogramas multiplica a gravidade para dar Newtons (unidade de força). Isso é o “peso” que o colchão deve equilibrar verticalmente.
Passo 3
Determinar a pressão gauge mínima necessária para suportar essa força sobre a área de apoio:
- A relação é
. - Primeiro converto a área de apoio para metros quadrados:
(Explicação:
.)
- Agora a pressão gauge mínima necessária (pressão acima da atmosférica) é
Explicação: essa é a pressão extra dentro do colchão necessária para gerar a força total que sustenta o corpo sobre a área dada. Em termos práticos é um valor pequeno comparado à pressão atmosférica.
Passo 4
Passar a pressão gauge para pressão absoluta interna necessária:
- Pressão absoluta final no colchão será
(Em notação:
.)
Explicação: as leis dos gases usam pressão absoluta, por isso somamos a pressão atmosférica.
Explicação: as leis dos gases usam pressão absoluta, por isso somamos a pressão atmosférica.
Passo 5
Calcular o volume interno do colchão quando inflado:
- Converter dimensões para metros:
. - Volume do colchão:
Explicação: multiplicamos altura × largura × comprimento para obter o volume em m^3.
Passo 6
Calcular o volume de ar injetado por cada bombada da bomba:
- Bomba: diâmetro
→ raio . Curso . - Área do pistão:
- Volume deslocado por avanço (uma bombada efetiva, já que é de simples ação):
Explicação: o volume é a área do círculo vezes o comprimento do curso — é o volume de ar que a bomba empurra por avanço à pressão atmosférica.
Passo 7
Raciocínio físico para ligar número de bombadas à pressão final (modelo e fórmula):
- Modelo adotado (explicação didática): cada bombada insere um volume
de ar à pressão atmosférica. O número de moles adicionados por bombada é proporcional a . Se assumirmos o enchimento aproximadamente isotérmico e que o colchão final ocupa volume , então a pressão final absoluta no colchão depois de bombadas satisfaz
(Justificação: quantidade total de gás no colchão corresponde ao número de bombadas vezes a quantidade de ar por bombada, e usando
e cancelando
chegamos à relação acima.)
- Isolando
:
Observação importante: esse é um modelo idealizado — considera enchimento isoterma e sem perdas por vazamento nem compressões internas adicionais por elasticidade do material. Para estimativa mínima serve bem.
Passo 8
Calcular numericamente
:
- Primeiro compute a razão
:
- Razão de volumes:
- Então
- Como o número de bombadas deve ser inteiro e uma bombada parcial não conta, arredondamos para cima:
Passo 9
Interpretação prática e margem de segurança (didática e motivadora):
- O valor obtido
é o número mínimo ideal sob condições perfeitas (nenhum vazamento, nenhum ar já preso, enchimento isoterma, colchão aceita o volume exato sem resistência elástica extra). - Na prática existem perdas (vazamentos pequenos, folgas em válvulas, ar já presente no interior dobrado, e resistência elástica do material que requer pressão extra). Recomendo considerar uma margem prática: por exemplo adicionar
a de bombadas extras. Com a mais: bombadas. - Lembre-se: bomba de simples ação significa que apenas o avanço insere ar; se você fizer 300 movimentos completos mão para frente e para trás, conte apenas os avanços como bombadas efetivas.
Resposta
250 bombadas (avanços) aproximadamente. Recomenda-se ~300 bombadas para compensar perdas práticas.