Pretende-se encher um colchão de ar de dimensões A22 x L137 x C191cm que encontra-se totalmente vazio (achatada e dobrada na embalagem) com uma bomba de ar de dimensões: \varnothing 100 \times 300 \mathrm{~mm} de simples ação (bombeia ar somente no avanço) para sustentar um homem de 120 Kg cuja área de apoio sobre o colchão quando deitado foi estimado em (Largura média 30 cm x Altura 180 cm ) em 5.400 \mathrm{~cm}^{2}. Sem poder medir a pressão de calibração do colchão, estimar o número mínimo de bombadas necessário para encher o colchão com pressão suficiente para equilibrar o peso da pessoa que irá usar o colchão.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Estimar o número mínimo de bombadas necessárias para encher o colchão com pressão suficiente para equilibrar o peso de um homem de 120\\ \mathrm{kg}.
Informações fornecidas (vou listar tudo e indicar de onde vem):
  • Massa da pessoa: m=120\\ \mathrm{kg} (dado do enunciado).
  • Área de apoio da pessoa sobre o colchão: A_{\text{apoio}}=5{.}400\\ \mathrm{cm}^2 (dado do enunciado).
  • Dimensões do colchão (quando inflado): A=22\\ \mathrm{cm}\times L=137\\ \mathrm{cm}\times C=191\\ \mathrm{cm} (dado do enunciado).
  • Dimensões da bomba (peguei da imagem/enunciado): diâmetro \varnothing = 100\\ \mathrm{mm} e curso =300\\ \mathrm{mm}. Observação do enunciado: bomba de simples ação (bombeia apenas na avanço), logo cada avanço efetivamente insere ar equivalente ao volume do cilindro da bomba.
  • Pressão atmosférica padrão que vamos usar: P_{\text{atm}}\approx101{.}325\\ \mathrm{kPa} (valor padrão adotado).
  • O enunciado não fornece a pressão de calibração do colchão: por isso vamos estimar a pressão mínima interna necessária para equilibrar o peso usando a relação força = pressão × área e, para relacionar volumes e pressões, assumiremos enchimento aproximadamente isotérmico (temperatura constante) e que cada bombada adiciona um volume de ar equivalente ao deslocamento da bomba na condição atmosférica.
Nada mais foi omitido nem pedido pelo enunciado; a partir daqui começo a resolução.

Passo 2

Converter unidades e calcular a força peso que precisa ser sustentada:
  • A força peso é F = m g, onde m é a massa e g é a aceleração da gravidade. Vou usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Calcular:
F = 120 \times 9{,}81 = 1{.}177{,}2\\ \mathrm{N}.
Explicação didática: a massa em quilogramas multiplica a gravidade para dar Newtons (unidade de força). Isso é o “peso” que o colchão deve equilibrar verticalmente.

Passo 3

Determinar a pressão gauge mínima necessária para suportar essa força sobre a área de apoio:
  • A relação é \text{pressão} = \dfrac{\text{força}}{\text{área}}ãçá.
  • Primeiro converto a área de apoio para metros quadrados:
A_{\text{apoio}} = 5{.}400\\ \mathrm{cm}^2 = 5{.}400\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 0{,}54\\ \mathrm{m}^2.
(Explicação: 1\\ \mathrm{cm}^2 = 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.)
  • Agora a pressão gauge mínima necessária (pressão acima da atmosférica) é
P_{\text{gauge}}=\frac{F}{A_{\text{apoio}}}=\frac{1{.}177{,}2}{0{,}54}\\ \mathrm{Pa}\approx 2{,}18\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa}\\ (2{,}18\\ \mathrm{kPa}).
Explicação: essa é a pressão extra dentro do colchão necessária para gerar a força total que sustenta o corpo sobre a área dada. Em termos práticos é um valor pequeno comparado à pressão atmosférica.

Passo 4

Passar a pressão gauge para pressão absoluta interna necessária:
  • Pressão absoluta final no colchão será
P_{\text{int}} = P_{\text{atm}} + P_{\text{gauge}} \approx 101{.}325\\ \mathrm{kPa} + 2{,}18\\ \mathrm{kPa} = 103{,}505\\ \mathrm{Pa}.
(Em notação: P_{\text{int}}\approx103{.}505\\ \mathrm{Pa}.)
Explicação: as leis dos gases usam pressão absoluta, por isso somamos a pressão atmosférica.

Passo 5

Calcular o volume interno do colchão quando inflado:
  • Converter dimensões para metros: 0{,}22\\ \mathrm{m}\times 1{,}37\\ \mathrm{m}\times 1{,}91\\ \mathrm{m}.
  • Volume do colchão:
V_{\text{colch}} = 0{,}22\times 1{,}37\times 1{,}91\\ \mathrm{m}^3 = 0{,}575674\\ \mathrm{m}^3 \approx 0{,}576\\ \mathrm{m}^3.
Explicação: multiplicamos altura × largura × comprimento para obter o volume em m^3.

Passo 6

Calcular o volume de ar injetado por cada bombada da bomba:
  • Bomba: diâmetro \varnothing=100\\ \mathrm{mm}=0{,}10\\ \mathrm{m} → raio r=0{,}05\\ \mathrm{m}. Curso L=300\\ \mathrm{mm}=0{,}3\\ \mathrm{m}.
  • Área do pistão:
A_{\text{pist}}=\pi r^2=\pi (0{,}05)^2=\pi\times 0{,}0025\\ \mathrm{m}^2 \approx 0{,}007854\\ \mathrm{m}^2.
  • Volume deslocado por avanço (uma bombada efetiva, já que é de simples ação):
V_{\text{bomba}} = A_{\text{pist}}\times L \approx 0{,}007854\times 0{,}3 = 0{,}002356\\ \mathrm{m}^3 \approx 2{,}356\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3.
Explicação: o volume é a área do círculo vezes o comprimento do curso — é o volume de ar que a bomba empurra por avanço à pressão atmosférica.

Passo 7

Raciocínio físico para ligar número de bombadas à pressão final (modelo e fórmula):
  • Modelo adotado (explicação didática): cada bombada insere um volume V_{\text{bomba}} de ar à pressão atmosférica. O número de moles adicionados por bombada é proporcional a P_{\text{atm}}V_{\text{bomba}}. Se assumirmos o enchimento aproximadamente isotérmico e que o colchão final ocupa volume V_{\text{colch}}, então a pressão final absoluta no colchão depois de N bombadas satisfaz
P_{\text{int}}V_{\text{colch}} = N \, P_{\text{atm}} \, V_{\text{bomba}}.
(Justificação: quantidade total de gás no colchão corresponde ao número de bombadas vezes a quantidade de ar por bombada, e usando PV=nRT e cancelando RT chegamos à relação acima.)
  • Isolando N:
N = \frac{P_{\text{int}}\,V_{\text{colch}}}{P_{\text{atm}}\,V_{\text{bomba}}}.
Observação importante: esse é um modelo idealizado — considera enchimento isoterma e sem perdas por vazamento nem compressões internas adicionais por elasticidade do material. Para estimativa mínima serve bem.

Passo 8

Calcular numericamente N:
  • Primeiro compute a razão \dfrac{P_{\text{int}}}{P_{\text{atm}}}:
\frac{P_{\text{int}}}{P_{\text{atm}}}=\frac{103{.}505}{101{.}325}\approx 1{,}0215.
  • Razão de volumes:
\frac{V_{\text{colch}}}{V_{\text{bomba}}}=\frac{0{,}575674}{0{,}002356}\approx 244{,}3.
  • Então
N \approx 1{,}0215\times 244{,}3 \approx 249{,}5.
  • Como o número de bombadas deve ser inteiro e uma bombada parcial não conta, arredondamos para cima:
N_{\min}\approx 250\\ \text{bombadas (avanços)}.ç

Passo 9

Interpretação prática e margem de segurança (didática e motivadora):
  • O valor obtido N_{\min}\approx 250 é o número mínimo ideal sob condições perfeitas (nenhum vazamento, nenhum ar já preso, enchimento isoterma, colchão aceita o volume exato sem resistência elástica extra).
  • Na prática existem perdas (vazamentos pequenos, folgas em válvulas, ar já presente no interior dobrado, e resistência elástica do material que requer pressão extra). Recomendo considerar uma margem prática: por exemplo adicionar 10\% a 20\% de bombadas extras. Com 20\% a mais: 250\times1{,}2=300 bombadas.
  • Lembre-se: bomba de simples ação significa que apenas o avanço insere ar; se você fizer 300 movimentos completos mão para frente e para trás, conte apenas os avanços como bombadas efetivas.

Resposta

250 bombadas (avanços) aproximadamente. Recomenda-se ~300 bombadas para compensar perdas práticas.

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