O radar Doppler é um dispositivo utilizado para medir a velocidade de veículos. Seu funcionamento baseia-se na emissão de uma onda que, ao ser refletida por um veículo em movimento, retorna com uma frequência diferente devido ao efeito Doppler. A partir dessa variação de frequência, é possível determinar a velocidade do veículo.
Em uma rodovia, um radar Doppler emite uma onda eletromagnética de frequência
, que se propaga com velocidade
. Para um determinado veículo, a variação de frequência detectada pelo radar foi de
.
Considere que o carro, ao interagir com a onda, comporta-se inicialmente como um observador em movimento e, após a reflexão, como uma fonte em movimento.
Observação:
Note que, neste problema, ocorre a reflexão da onda eletromagnética no carro, que retorna ao radar. Ondas refletidas possuem a mesma frequência da onda incidente, isto é, a onda antes de ser refletida.
(a) Com que velocidade o veículo mencionado transita pela rodovia?* Sua resposta deve estar em km/h.
1 ponto
(b) A frequência que chega ao veículo, relativamente àquela emitida pelo radar, é*
1 ponto
(c) A frequência que retorna do veículo (refletida) e chega ao radar, relativamente àquela emitida pelo radar, é
1 ponto
Esta pergunta é obrigatória
(a) Com que velocidade o veículo mencionado transita pela rodovia?* Sua resposta deve estar em km/h.
(b) A frequência que chega ao veículo, relativamente àquela emitida pelo radar, é*
(c) A frequência que retorna do veículo (refletida) e chega ao radar, relativamente àquela emitida pelo radar, é
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo com calma para não perder nada):
-
Dados fornecidos:
- Frequência emitida pelo radar:
. - Velocidade de propagação da onda:
. - Variação de frequência detectada no radar (efeito total, após reflexão):
.
- Frequência emitida pelo radar:
-
O enunciado ainda orienta o modelo: o carro primeiro age como observador em movimento (recebe a onda) e depois, após reflexão, como fonte em movimento (re-emite/retroreflete a onda).
-
Perguntas a responder:
(a) Com que velocidade o veículo transita pela rodovia? Resposta em.
(b) Qual é a frequência que chega ao veículo, relativamente àquela emitida pelo radar? (ou seja, a frequência percebida pelo carro).
(c) Qual é a frequência que retorna do veículo (refletida) e chega ao radar, relativamente àquela emitida pelo radar?
Passo 2
Entendendo o efeito Doppler neste problema (a ideia e as fórmulas que vamos usar).
-
Conceito passo a passo (sem pular partes):
-
Quando um observador se move em relação a uma fonte estacionária (o radar é a fonte que fica fixo), a frequência percebida pelo observador é dada pela razão entre as velocidades efetivas da frente de onda e a velocidade da onda. Para um observador se aproximando da fonte, a fórmula clássica (não-relativística) é:onde:
-
é a frequência emitida, -
é a frequência recebida pelo observador em movimento, -
é a velocidade da onda (aqui ), -
é a velocidade do observador em relação à fonte (positiva se aproximando).
Explicação: o observador se aproxima dos frentes de onda, então “percebe” frentes de onda mais frequentemente; o fatorquantifica isso.
-
-
Quando uma fonte se move em relação a um observador estacionário, a frequência que o observador mede é dada poronde
é a frequência emitida pela fonte em seu referencial e é velocidade da fonte em direção ao observador (a convenção de sinal deve ser consistente). Para (caso usual em radares de veículos) podemos aproximar . Assim, para pequenas velocidades, mover a fonte em direcção ao receptor aumenta a frequência aproximadamente por um fator .
-
-
No caso do radar+carro com reflexão:
- Primeiro passo (carro como observador): o carro “vê” a frequência
(aproximação para ). - Segundo passo (carro como fonte que reflete): o carro reemite (reflete) essa onda com frequência
no seu referencial; para o radar (observador no solo) essa freqüência chega multiplicada novamente por aproximadamente . Portanto, a frequência final recebida pelo radar é mantendo termos até ordem . A diferença total de frequência medida pelo radar será então, aproximadamente, Esta fórmula é a chave prática para radares Doppler que medem veículos: a variação total é aproximadamente .
- Primeiro passo (carro como observador): o carro “vê” a frequência
Passo 3
Isolando a velocidade
a partir da relação prática (essa é a fórmula que uso para calcular
a partir de
):
Agora substituo os valores fornecidos:
Passo 4
Cálculo numérico de
passo a passo (mostrando contas para que dê pra replicar na prova sem calculadora em várias etapas):
Agora a divisão
dá aproximadamente
(pode estimar dividindo por 4,8). Portanto
Passo 5
Converter para
(porque a pergunta (a) pede km/h). Multiplica-se por
:
Pequeno incentivo: deu trabalho, mas é só aplicar a fórmula e fazer as contas com cuidado — isso é exatamente o que o fiscal vai querer ver.
Passo 6
Agora respondo (b) e (c) com as fórmulas e valores numéricos.
-
(b) Frequência que chega ao veículo (carro como observador): a fórmula (aproximada para
) é Substituindo o valor deque encontramos: Assim o aumento éLogo -
(c) Frequência que retorna ao radar (após reflexão): como expliquei antes, há um segundo deslocamento similar, portantoA variação total então é (usando a aproximação de primeira ordem)Substituindo números, a variação total foi dada
(coerente com as contas), então
Passo 7
Verificação da aproximação e comentário final (curto e prático):
- A aproximação usada (
) é muito boa porque — então os termos quadráticos em são da ordem , totalmente desprezíveis. Portanto as expressões usadas são apropriadas e os resultados numéricos confiáveis para uso em prova.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)