O radar Doppler é um dispositivo utilizado para medir a velocidade de veículos. Seu funcionamento baseia-se na emissão de uma onda que, ao ser refletida por um veículo em movimento, retorna com uma frequência diferente devido ao efeito Doppler. A partir dessa variação de frequência, é possível determinar a velocidade do veículo.
Em uma rodovia, um radar Doppler emite uma onda eletromagnética de frequência \mathrm{f}=2,4 \mathrm{GHz}, que se propaga com velocidade \mathrm{v}=3,0 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Para um determinado veículo, a variação de frequência detectada pelo radar foi de \Delta \mathrm{f}=6,67 \times 10^{2} \mathrm{~Hz}.
Considere que o carro, ao interagir com a onda, comporta-se inicialmente como um observador em movimento e, após a reflexão, como uma fonte em movimento.

Observação:

Note que, neste problema, ocorre a reflexão da onda eletromagnética no carro, que retorna ao radar. Ondas refletidas possuem a mesma frequência da onda incidente, isto é, a onda antes de ser refletida.
(a) Com que velocidade o veículo mencionado transita pela rodovia?* Sua resposta deve estar em km/h.
1 ponto
(b) A frequência que chega ao veículo, relativamente àquela emitida pelo radar, é*
1 ponto
(c) A frequência que retorna do veículo (refletida) e chega ao radar, relativamente àquela emitida pelo radar, é { }^{*}
1 ponto
Esta pergunta é obrigatória

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo com calma para não perder nada):
  • Dados fornecidos:
    • Frequência emitida pelo radar: f = 2,4\times10^{9}\\ \text{Hz}.
    • Velocidade de propagação da onda: c = 3,0\times10^{8}\\ \text{m/s}.
    • Variação de frequência detectada no radar (efeito total, após reflexão): \Delta f = 6,67\times10^{2}\\ \text{Hz}.
  • O enunciado ainda orienta o modelo: o carro primeiro age como observador em movimento (recebe a onda) e depois, após reflexão, como fonte em movimento (re-emite/retroreflete a onda).
  • Perguntas a responder:
    (a) Com que velocidade o veículo transita pela rodovia? Resposta em \text{km/h}.
    (b) Qual é a frequência que chega ao veículo, relativamente àquela emitida pelo radar? (ou seja, a frequência percebida pelo carro).
    (c) Qual é a frequência que retorna do veículo (refletida) e chega ao radar, relativamente àquela emitida pelo radar?

Passo 2

Entendendo o efeito Doppler neste problema (a ideia e as fórmulas que vamos usar).
  • Conceito passo a passo (sem pular partes):
    1. Quando um observador se move em relação a uma fonte estacionária (o radar é a fonte que fica fixo), a frequência percebida pelo observador é dada pela razão entre as velocidades efetivas da frente de onda e a velocidade da onda. Para um observador se aproximando da fonte, a fórmula clássica (não-relativística) é:
      f' = f\left(\frac{c+v}{c}\right),
      onde:
      • f é a frequência emitida,
      • f' é a frequência recebida pelo observador em movimento,
      • c é a velocidade da onda (aqui \,3,0\times10^{8}\\ \text{m/s}\,),
      • v é a velocidade do observador em relação à fonte (positiva se aproximando).
        Explicação: o observador se aproxima dos frentes de onda, então “percebe” frentes de onda mais frequentemente; o fator (c+v)/c quantifica isso.
    2. Quando uma fonte se move em relação a um observador estacionário, a frequência que o observador mede é dada por
      f'' = f_{\text{fonte}}\left(\frac{c}{c-v}\right),
      onde f_{\text{fonte}} é a frequência emitida pela fonte em seu referencial e v é velocidade da fonte em direção ao observador (a convenção de sinal deve ser consistente). Para v\ll c (caso usual em radares de veículos) podemos aproximar \dfrac{c}{c-v}\approx 1+\dfrac{v}{c}. Assim, para pequenas velocidades, mover a fonte em direcção ao receptor aumenta a frequência aproximadamente por um fator 1+v/c.
  • No caso do radar+carro com reflexão:
    • Primeiro passo (carro como observador): o carro “vê” a frequência f' = f\left(1+\dfrac{v}{c}\right) (aproximação para v\ll c).
    • Segundo passo (carro como fonte que reflete): o carro reemite (reflete) essa onda com frequência f' no seu referencial; para o radar (observador no solo) essa freqüência chega multiplicada novamente por aproximadamente \left(1+\dfrac{v}{c}\right). Portanto, a frequência final recebida pelo radar é f_{\text{rec}} \approx f\left(1+\frac{v}{c}\right)\left(1+\frac{v}{c}\right) \approx f\left(1+\frac{2v}{c}\right),mantendo termos até ordem v/c. A diferença total de frequência medida pelo radar será então, aproximadamente, \Delta f = f_{\text{rec}} - f \approx 2f\frac{v}{c}.Esta fórmula é a chave prática para radares Doppler que medem veículos: a variação total \Delta f é aproximadamente 2f\,v/c.

Passo 3

Isolando a velocidade v a partir da relação prática (essa é a fórmula que uso para calcular v a partir de \Delta f):
\Delta f \approx 2 f \frac{v}{c} \quad\Longrightarrow\quad v \approx \frac{\Delta f\, c}{2 f}.
Agora substituo os valores fornecidos:
\Delta f = 6,67\times10^{2},\quad c = 3,0\times10^{8},\quad f = 2,4\times10^{9}.

Passo 4

Cálculo numérico de v passo a passo (mostrando contas para que dê pra replicar na prova sem calculadora em várias etapas):
\text{numerador} = \Delta f \, c = \left(6,67\times10^{2}\right)\left(3,0\times10^{8}\right) = 6,67\cdot3,0\times10^{2+8} = 20,01\times10^{10} = 2,001\times10^{11}.
\text{denominador} = 2f = 2\cdot\left(2,4\times10^{9}\right)=4,8\times10^{9}.
v \approx \frac{2,001\times10^{11}}{4,8\times10^{9}} = \left(\frac{2,001}{4,8}\right)\times10^{2}.
Agora a divisão \dfrac{2,001}{4,8} dá aproximadamente 0,417 (pode estimar dividindo por 4,8). Portanto
v \approx 0,417\times10^{2}\\ \text{m/s} = 41,6875\\ \text{m/s}\approx 41,7\\ \text{m/s}.

Passo 5

Converter para \text{km/h} (porque a pergunta (a) pede km/h). Multiplica-se por 3,6:
v_{\text{km/h}} = 41,6875\times3,6 = 150,075\\ \text{km/h}\approx 150,1\\ \text{km/h}.
Pequeno incentivo: deu trabalho, mas é só aplicar a fórmula e fazer as contas com cuidado — isso é exatamente o que o fiscal vai querer ver.

Passo 6

Agora respondo (b) e (c) com as fórmulas e valores numéricos.
  • (b) Frequência que chega ao veículo (carro como observador): a fórmula (aproximada para v\ll c) é
    f' = f\left(1+\frac{v}{c}\right).
    Substituindo o valor de v que encontramos:
    \frac{v}{c} \approx \frac{41,6875}{3,0\times10^{8}} \approx 1,39\times10^{-7}.
    Assim o aumento é
    f' - f \approx f\cdot\frac{v}{c}\approx 2,4\times10^{9}\cdot1,39\times10^{-7}\approx 333,5\\ \text{Hz}.
    Logo
    f' \approx f + 333,5\\ \text{Hz}\approx 2,4000003335\times10^{9}\\ \text{Hz}.
  • (c) Frequência que retorna ao radar (após reflexão): como expliquei antes, há um segundo deslocamento similar, portanto
    f_{\text{rec}} \approx f\left(1+\frac{2v}{c}\right).
    A variação total então é (usando a aproximação de primeira ordem)
    \Delta f \approx 2f\frac{v}{c}.
    Substituindo números, a variação total foi dada \Delta f = 6,67\times10^{2}\\ \text{Hz} (coerente com as contas), então
    f_{\text{rec}} = f + \Delta f \approx f + 667\\ \text{Hz}\approx 2,400000667\times10^{9}\\ \text{Hz}.

Passo 7

Verificação da aproximação e comentário final (curto e prático):
  • A aproximação usada ( 1/(1-v/c)\approx 1+v/c) é muito boa porque v/c\sim10^{-7} — então os termos quadráticos em v/c são da ordem 10^{-14}, totalmente desprezíveis. Portanto as expressões usadas são apropriadas e os resultados numéricos confiáveis para uso em prova.

Resposta

(a) 150,1\\ \text{km/h}
(b) f' = f\left(1+\dfrac{v}{c}\right)\approx f + 333,5\\ \text{Hz}\approx 2,4000003335\times10^{9}\\ \text{Hz}
(c) f_{\text{rec}} = f\left(1+\dfrac{2v}{c}\right)\approx f + 667\\ \text{Hz}\approx 2,400000667\times10^{9}\\ \text{Hz}

Exercícios relacionados