Questão 3 - Dada a lei de Gaus na forma integral, obtenha a forma diferencial. Faça também a passagem reversa, ou seja, da forma diferencial para a forma integral.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos como obter a forma diferencial da lei de Gauss a partir da forma integral e, em seguida, como voltar da forma diferencial para a forma integral. O conteúdo-chave aqui é o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss), que relaciona um integral de superfície a um integral de volume.

Passo 2

Começamos da forma integral da lei de Gauss:
\oint_{\mathcal S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} \;=\;\frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\rm int}=\displaystyle\int_{V}\rho\,dV. Substituindo,
\oint_{\mathcal S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} =\frac{1}{\varepsilon_{0}}\int_{V}\rho\,dV.
Pelo Teorema da Divergência,
\oint_{\mathcal S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} =\int_{V}\bigl(\nabla\cdot\mathbf{E}\bigr)\,dV.
Logo
\int_{V}\bigl(\nabla\cdot\mathbf{E}\bigr)\,dV =\frac{1}{\varepsilon_{0}}\int_{V}\rho\,dV.
Como isso vale para qualquer volume V arbitrário, igualamos os integrandos:
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.

Passo 3

Agora partimos da forma diferencial
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}
e integramos ambos os lados sobre um volume V:
\int_{V}\bigl(\nabla\cdot\mathbf{E}\bigr)\,dV =\frac{1}{\varepsilon_{0}}\int_{V}\rho\,dV.
Aplicando novamente o Teorema da Divergência ao membro esquerdo, obtemos
\oint_{\mathcal S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} =\frac{1}{\varepsilon_{0}}\int_{V}\rho\,dV =\frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_{0}},
que é precisamente a forma integral da lei de Gauss.

Resposta

Forma integral:
\oint_{\mathcal S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} =\frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_{0}}.
Forma diferencial:
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.

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