Questão 3 - Dada a lei de Gaus na forma integral, obtenha a forma diferencial. Faça também a passagem reversa, ou seja, da forma diferencial para a forma integral.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos como obter a forma diferencial da lei de Gauss a partir da forma integral e, em seguida, como voltar da forma diferencial para a forma integral. O conteúdo-chave aqui é o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss), que relaciona um integral de superfície a um integral de volume.
Passo 2
Começamos da forma integral da lei de Gauss:
onde
. Substituindo,
Pelo Teorema da Divergência,
Logo
Como isso vale para qualquer volume
arbitrário, igualamos os integrandos:
Passo 3
Agora partimos da forma diferencial
e integramos ambos os lados sobre um volume
:
Aplicando novamente o Teorema da Divergência ao membro esquerdo, obtemos
que é precisamente a forma integral da lei de Gauss.
Resposta
Forma integral:
Forma diferencial: