Uma onda harmônica se propaga para direita numa corda com velocidade de propagação igual a 1,0 m / s. Um segmento qualquer da corda, enquanto essa onda o atravessa, tem deslocamento vertical máximo igual a 5,0 m e velocidade vertical máxima igual a 10 m / s.
b) Determine o valor do comprimento de onda dessa onda harmônica ( 8,0 pontos).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de ondas harmônicas que se propagam em uma corda. Precisamos descobrir o comprimento de onda dessa onda, ou seja, a distância entre dois pontos consecutivos que estão na mesma fase da onda (como dois picos, por exemplo). Para isso, vamos usar informações sobre a velocidade de propagação da onda, o deslocamento máximo e a velocidade máxima vertical do ponto na corda.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada dado representa:
  • Velocidade de propagação da onda ( v): É a rapidez com que a onda se move ao longo da corda. Aqui, v = 1,0 , m/s.
  • Deslocamento vertical máximo ( A): É a amplitude da onda, ou seja, a maior distância que um ponto da corda se desloca para cima ou para baixo em relação à posição de equilíbrio. Aqui, A = 5,0 , m.
  • Velocidade vertical máxima ( vmax): É a maior rapidez com que um ponto da corda se move verticalmente. Aqui, vmax = 10 , m/s.

Passo 3

Sabemos que, em uma onda harmônica, a velocidade vertical máxima está relacionada com a amplitude e a frequência angular ( omega) da onda pela fórmula:
vmax = A cdot omega
Queremos encontrar o comprimento de onda ( lambda), então precisamos relacionar a frequência angular com a velocidade de propagação da onda.

Passo 4

A velocidade de propagação da onda também está relacionada com o comprimento de onda e a frequência ( f) pela fórmula:
v = lambda cdot f
E a frequência angular está relacionada com a frequência pela fórmula:
omega = 2pi f

Passo 5

Vamos expressar a frequência ( f) em termos da frequência angular ( omega):
f = omega2pi
Substituindo isso na fórmula da velocidade de propagação:
v = lambda cdot omega2pi

Passo 6

Agora, substituímos omega da primeira equação ( vmax = A cdot omega) na equação acima:
v = lambda cdot vmax2pi A
Queremos isolar lambda, então rearranjamos a equação:
lambda = 2pi A vvmax

Resposta

Substituindo os valores:
lambda = 2pi times 5,0 , m times 1,0 , m/s10 , m/s = 10pi10 = pi , m
Portanto, o comprimento de onda dessa onda harmônica é pi , m, aproximadamente 3,14 , m.

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