Uma onda harmônica transversal se propaga numa corda. A equação desta onda é dada no SI por meio da expressão: y=0,09 \operatorname{sen}(0,08 x-0,3 t). Determine: (a) a velocidade de propagação da onda; (b) a velocidade de vibração de uma partícula da corda; (c) a velocidade máxima de vibração de uma partícula da corda. (d) Escreva a equação da onda que deve ser superposta à equação desta onda para que se obtenha uma onda estacionária na corda. R - (a) 3,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; (b) -0,027 \cos (0,08 x-0,3 t); (c) 0,027 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá uma onda harmônica transversal na forma
y = 0,09 \sin\bigl(0,08\,x - 0,3\,t\bigr)
Aqui o número de onda é k = 0,08, m^{-}¹ e a pulsação é \omega = 0,3, s^{-}¹. Precisamos achar:
a) a velocidade de propagação v;
b) a velocidade instantânea de vibração de uma partícula \partial y/\partial t;
c) a velocidade máxima dessa vibração;
d) a forma da onda que, somada a esta, gera uma onda estacionária.

Passo 2

Para a velocidade de propagação usamos
v = \frac{\omega}{k}.
Substituindo,
v = \frac{0,3}{0,08} = 3{,}75\\ \mathrm{m/s},
que, arredondando, dá cerca de 3{,}7\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

A velocidade de vibração de uma partícula é a derivada parcial de y em relação a t:
\frac{\partial y}{\partial t} = 0,09\cdot(-0,3)\,\cos\bigl(0,08\,x - 0,3\,t\bigr) = -0,027\,\cos\bigl(0,08\,x - 0,3\,t\bigr).

Passo 4

A velocidade máxima de vibração ocorre quando \cos(\cdot)=\pm1, logo
v_{\max} = A\,\omega = 0,09 \times 0,3 = 0,027\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Para formar uma onda estacionária somamos uma onda igual em amplitude e frequência, mas viajando no sentido oposto. Assim, a segunda onda é
y_2 = 0,09 \sin\bigl(0,08\,x + 0,3\,t\bigr).

Resposta

a) 3{,}75\\ \mathrm{m/s} (aprox. 3{,}7\\ \mathrm{m/s}).
b) \displaystyle -0,027\,\cos\bigl(0,08\,x - 0,3\,t\bigr).
c) 0,027\\ \mathrm{m/s}.
d) \displaystyle y_2 = 0,09 \sin\bigl(0,08\,x + 0,3\,t\bigr).

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