Uma onda longitudinal senoidal contínua é enviada ao longo de uma mola em espiral muito comprida a partir de uma fonte oscilatória presa a ela. A frequência da fonte é
, e em qualquer instante a distância entre pontos sucessivos de máxima expansão na mola é de 48,0cm. (a) Encontre a velocidade da onda. (b) Se o deslocamento longitudinal máximo de uma partícula da mola for de
e a mola se mover no sentido negativo de um eixo
, escreva a equação para esta onda. Considere a fonte estando em
e tendo deslocamento nulo neste ponto quando
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma mola em espiral muito longa pela qual uma onda longitudinal senoidal está passando. A frequência da fonte que gera a onda é de 25,0 Hz, e a distância entre dois pontos consecutivos de máxima expansão na mola é de 48,0 cm. Vamos resolver duas partes:
(a) Encontrar a velocidade da onda.
Para isso, vamos precisar entender a relação entre frequência, comprimento de onda e velocidade da onda.
Passo 2
Parte (a): Encontrar a velocidade da onda
Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica que relaciona a velocidade da onda (
), a frequência (
) e o comprimento de onda (
):
Onde:
-
é a velocidade da onda. -
é a frequência da fonte (25,0 Hz). -
é o comprimento de onda.
No enunciado, a distância entre pontos sucessivos de máxima expansão é de 48,0 cm. Em ondas senoidais, essa distância corresponde ao comprimento de onda (
).
Então, temos:
Agora, aplicando a fórmula:
Passo 3
Parte (b): Escrever a equação da onda
Agora, vamos construir a equação da onda longitudinal. Sabemos que a forma geral de uma onda senoidal que se propaga ao longo do eixo
é:
Onde:
-
é a amplitude da onda (0,30 cm). -
é o número de onda, dado por . -
é a frequência angular, dada por . -
é a fase inicial.
Vamos calcular cada um desses termos.
- Amplitude (
):
- Número de onda (
):
- Frequência angular (
):
- Fase inicial (
):
O enunciado diz que no ponto
e no instante
, o deslocamento é nulo. Vamos substituir esses valores na equação da onda para encontrar
:
Isso implica que:
A solução mais simples para isso é:
Agora, substituindo todos os valores na equação da onda:
Resposta
(a) A velocidade da onda é de 12,0 m/s.
(b) A equação da onda é: