Uma onda longitudinal senoidal contínua é enviada ao longo de uma mola em espiral muito comprida a partir de uma fonte oscilatória presa a ela. A frequência da fonte é 25,0 Hz, e em qualquer instante a distância entre pontos sucessivos de máxima expansão na mola é de 48,0cm. (a) Encontre a velocidade da onda. (b) Se o deslocamento longitudinal máximo de uma partícula da mola for de 0,30 cm e a mola se mover no sentido negativo de um eixo x, escreva a equação para esta onda. Considere a fonte estando em x=0 e tendo deslocamento nulo neste ponto quando t=0.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma mola em espiral muito longa pela qual uma onda longitudinal senoidal está passando. A frequência da fonte que gera a onda é de 25,0 Hz, e a distância entre dois pontos consecutivos de máxima expansão na mola é de 48,0 cm. Vamos resolver duas partes:
(a) Encontrar a velocidade da onda.
Para isso, vamos precisar entender a relação entre frequência, comprimento de onda e velocidade da onda.

Passo 2

Parte (a): Encontrar a velocidade da onda
Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica que relaciona a velocidade da onda ( v), a frequência ( f) e o comprimento de onda ( lambda):
v = f times lambda
Onde:
  • v é a velocidade da onda.
  • f é a frequência da fonte (25,0 Hz).
  • lambda é o comprimento de onda.
No enunciado, a distância entre pontos sucessivos de máxima expansão é de 48,0 cm. Em ondas senoidais, essa distância corresponde ao comprimento de onda ( lambda).
Então, temos:
lambda = 48,0 , cm = 0,48 , m
Agora, aplicando a fórmula:
v = 25,0 , Hz times 0,48 , m = 12,0 , m/s

Passo 3

Parte (b): Escrever a equação da onda
Agora, vamos construir a equação da onda longitudinal. Sabemos que a forma geral de uma onda senoidal que se propaga ao longo do eixo x é:
y(x, t) = A sin(kx - omega t + phi)
Onde:
  • A é a amplitude da onda (0,30 cm).
  • k é o número de onda, dado por k = 2pilambda.
  • omega é a frequência angular, dada por omega = 2pi f.
  • phi é a fase inicial.
Vamos calcular cada um desses termos.
  1. Amplitude ( A):
A = 0,30 , cm = 0,0030 , m
  1. Número de onda ( k):
k = 2pilambda = 2pi0,48 , m approx 13,09 , rad/m
  1. Frequência angular ( omega):
omega = 2pi f = 2pi times 25,0 , Hz approx 157,08 , rad/s
  1. Fase inicial ( phi):
O enunciado diz que no ponto x = 0 e no instante t = 0, o deslocamento é nulo. Vamos substituir esses valores na equação da onda para encontrar phi:
y(0, 0) = 0,0030 sin(0 - 0 + phi) = 0
Isso implica que:
sin(phi) = 0
A solução mais simples para isso é:
phi = 0
Agora, substituindo todos os valores na equação da onda:
y(x, t) = 0,0030 , m times sin(13,09 , x - 157,08 , t)

Resposta

(a) A velocidade da onda é de 12,0 m/s.
(b) A equação da onda é:
y(x, t) = 0,0030 , m cdot sin(13,09 , x - 157,08 , t)

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