Uma onda não harmônica é dada por
sendo
constantes positivas.
Mostre que essa função satisfaz a equação da onda.
Mostre que essa função satisfaz a equação da onda.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma onda não harmônica dada por $ y(x, t) = D e^{-(B x - C t)^2} $, onde $ B $, $ C $ e $ D $ são constantes positivas. Nosso objetivo é mostrar que essa função satisfaz a equação da onda. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e entender um pouquinho sobre a equação da onda.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a equação da onda. Em uma dimensão, ela é dada por:
Aqui, $ v $ é a velocidade da onda. Nosso objetivo é verificar se a função $ y(x, t) $ satisfaz essa equação, ou seja, se as derivadas segunda em relação ao tempo e ao espaço estão relacionadas dessa maneira.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de $ y $ em relação a $ x $. Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ y $ em relação a $ x $:
Aplicando a regra do produto:
Primeiro derivamos $ (B x - C t) $:
Depois derivamos o expoente:
Juntando tudo:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a primeira derivada de $ y $ em relação ao tempo $ t $:
Simplificando:
Passo 6
Em seguida, calculamos a segunda derivada de $ y $ em relação ao tempo $ t $:
Aplicando a regra do produto:
Primeiro derivamos $ (B x - C t) $:
Depois derivamos o expoente:
Juntando tudo:
Simplificando:
Passo 7
Agora que temos $ \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} $ e $ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} $, vamos comparar as duas expressões na equação da onda:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Podemos simplificar ambos os lados dividindo por $ 2 D e^{-(B x - C t)^2} $:
Observamos que $ -1 + 2 (B x - C t)^2 = - (1 - 2 (B x - C t)^2) $, então a equação fica:
Simplificando os sinais:
Cancelando $ \left[ 1 - 2 (B x - C t)^2 \right ] $ dos dois lados:
Cancelando os sinais negativos:
Resposta
Encontramos que $ C^2 = v^2 B^2 $, o que mostra que a função $ y(x, t) = D e^{-(B x - C t)^2} $ satisfaz a equação da onda desde que $ C = v B $. Portanto, a função dada satisfaz a equação da onda.