Uma onda não harmônica é dada por y(x, t)=D e^-(B x-C t)^2 sendo B, C, D constantes positivas.
Mostre que essa função satisfaz a equação da onda.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma onda não harmônica dada por $ y(x, t) = D e^{-(B x - C t)^2} $, onde $ B $, $ C $ e $ D $ são constantes positivas. Nosso objetivo é mostrar que essa função satisfaz a equação da onda. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e entender um pouquinho sobre a equação da onda.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a equação da onda. Em uma dimensão, ela é dada por:
partial^2 ypartial t^2 = v^2 partial^2 ypartial x^2
Aqui, $ v $ é a velocidade da onda. Nosso objetivo é verificar se a função $ y(x, t) $ satisfaz essa equação, ou seja, se as derivadas segunda em relação ao tempo e ao espaço estão relacionadas dessa maneira.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de $ y $ em relação a $ x $. Aplicando a regra da cadeia:
y
Simplificando:
x

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ y $ em relação a $ x $:
y
Aplicando a regra do produto:
x
Primeiro derivamos $ (B x - C t) $:
partial^2 ypartial x^2 = partialpartial x ( -2 D B (B x - C t) e^-(B x - C t)^2 )
Depois derivamos o expoente:
partial^2 ypartial x^2 = -2 D B cdot partialpartial x ( (B x - C t) e^-(B x - C t)^2 )
Juntando tudo:
(B x - C t)
Simplificando:
partialpartial x (B x - C t) = B
partialpartial x e^-(B x - C t)^2 = e^-(B x - C t)^2 cdot (-2)(B x - C t) cdot B

Passo 5

Agora, vamos calcular a primeira derivada de $ y $ em relação ao tempo $ t $:
y
Simplificando:
t

Passo 6

Em seguida, calculamos a segunda derivada de $ y $ em relação ao tempo $ t $:
y
Aplicando a regra do produto:
t
Primeiro derivamos $ (B x - C t) $:
partial^2 ypartial t^2 = partialpartial t ( 2 D C (B x - C t) e^-(B x - C t)^2 )
Depois derivamos o expoente:
partial^2 ypartial t^2 = 2 D C cdot partialpartial t ( (B x - C t) e^-(B x - C t)^2 )
Juntando tudo:
(B x - C t)
Simplificando:
partialpartial t (B x - C t) = -C
partialpartial t e^-(B x - C t)^2 = e^-(B x - C t)^2 cdot (-2)(B x - C t) cdot (-C)

Passo 7

Agora que temos $ \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} $ e $ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} $, vamos comparar as duas expressões na equação da onda:
partial^2 ypartial x^2
Substituindo as derivadas que encontramos:
partial^2 ypartial t^2
Podemos simplificar ambos os lados dividindo por $ 2 D e^{-(B x - C t)^2} $:
partial^2 ypartial t^2 = v^2 partial^2 ypartial x^2
Observamos que $ -1 + 2 (B x - C t)^2 = - (1 - 2 (B x - C t)^2) $, então a equação fica:
2 D C^2 [ -1 + 2 (B x - C t)^2 ] e^-(B x - C t)^2 = v^2 ( -2 D B^2 [ 1 - 2 (B x - C t)^2 ] e^-(B x - C t)^2 )
Simplificando os sinais:
2 D e^-(B x - C t)^2
Cancelando $ \left[ 1 - 2 (B x - C t)^2 \right ] $ dos dois lados:
C^2 [ -1 + 2 (B x - C t)^2 ] = -v^2 B^2 [ 1 - 2 (B x - C t)^2 ]
Cancelando os sinais negativos:
-1 + 2 (B x - C t)^2 = - (1 - 2 (B x - C t)^2)

Resposta

Encontramos que $ C^2 = v^2 B^2 $, o que mostra que a função $ y(x, t) = D e^{-(B x - C t)^2} $ satisfaz a equação da onda desde que $ C = v B $. Portanto, a função dada satisfaz a equação da onda.

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