Uma onda não harmônica é dada por
sendo
constantes positivas.
A altura de uma onda
é o módulo do deslocamento máximo (ao longo de
), e a largura
é a distância entre dois pontos (ao longo de
) onde o módulo do deslocamento é a metade da altura. Determine
e
.
A altura de uma onda
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma onda não harmônica descrita pela função $ y(x, t) = D e^{-(B x - C t)^{2}} $, onde $ B $, $ C $ e $ D $ são constantes positivas. A gente precisa encontrar duas coisas: a altura $ h $ da onda, que é o deslocamento máximo, e a largura $ w $, que é a distância entre dois pontos onde o deslocamento é a metade da altura. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais e propriedades de máximos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a altura $ h $ da onda. A altura é o valor máximo que a função $ y(x, t) $ pode atingir em relação ao eixo $ y $. Olhando para a função $ y(x, t) = D e^{-(B x - C t)^{2}} $, percebemos que o termo exponencial $ e^{-(B x - C t)^{2}} $ sempre é positivo e atinge seu valor máximo quando o expoente é zero.
Para encontrar quando isso acontece:
Nesse ponto, a função $ y(x, t) $ atinge seu valor máximo:
Portanto, a altura $ h $ da onda é igual a $ D $.
Passo 3
Agora, vamos determinar a largura $ w $ da onda, que é a distância entre dois pontos onde o deslocamento $ y $ é igual à metade da altura, ou seja, $ \frac{h}{2} = \frac{D}{2} $.
Começamos igualando a função $ y(x, t) $ a $ \frac{D}{2} $:
Dividindo ambos os lados por $ D $:
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver a equação:
Multiplicando os dois lados por $ -1 $:
Tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Isolando $ x $:
Isso nos dá dois valores de $ x $:
A largura $ w $ é a diferença entre esses dois pontos:
Resposta
A altura da onda $ h $ é igual a $ D $ e a largura $ w $ é igual a $ \dfrac{2,\sqrt{\ln,2}}{B} $.