Uma onda plana se propaga no espaço livre com a componente de campo elétrico E= (10 ay+5 az) cos (omega t+2 y-4 z) V / m e incide em um dielétrico ( z >= 0 ) com mu=mu0, varepsilon= 4 varepsilon0 e sigma=0. calcule: (a) os ângulos de incidência, de reflexão e de transmissão; (b) os coeficientes de reflexão e de transmissão; (c) o campo total E no espaço livre; (d) o campo total E no dielétrico e (e) o ângulo de Brewster.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado fala sobre uma onda eletromagnética plana que está se movendo no espaço livre e chega até um material dielétrico. Precisamos calcular vários aspectos dessa interação, como os ângulos de incidência, reflexão e transmissão, os coeficientes de reflexão e transmissão, os campos elétricos totais no espaço livre e no dielétrico, e o famoso ângulo de Brewster. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de propagação de ondas, leis de reflexão e refração (como a Lei de Snell), e os coeficientes de Fresnel.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a direção de propagação da onda incidente. A expressão do campo elétrico é:
E = (10 ay + 5 az) cos(omega t + 2 y - 4 z) V/m
O termo 2y - 4z dentro da função cosseno indica que o vetor de onda k tem componentes ky = 2 rad/m e kz = -4 rad/m. Portanto, a direção de propagação está no plano yz.

Passo 3

Vamos determinar os ângulos de incidência, reflexão e transmissão. A Lei de Snell nos diz que:
n1 sin(thetai) = n2 sin(thetat)
Como o espaço livre tem n1 = 1 e o dielétrico tem n2 = raizvarepsilon/varepsilon0 = raiz4 = 2. Primeiro, calculamos o ângulo de incidência thetai:
tan(thetai) = ky|kz| = 24 = 0,5 Rightarrow thetai = arctan(0,5) approx 26,57^circ
Pela Lei da Reflexão, o ângulo de reflexão thetar é igual ao ângulo de incidência:
thetar = thetai approx 26,57^circ
Agora, usando a Lei de Snell para encontrar o ângulo de transmissão thetat:
1 cdot sin(26,57^circ) = 2 cdot sin(thetat) Rightarrow sin(thetat) = 0,44722 approx 0,2236 Rightarrow thetat approx 12,92^circ

Passo 4

Vamos calcular os coeficientes de reflexão ( R) e transmissão ( T) usando os coeficientes de Fresnel para polarização paralela § e perpendicular (s). Primeiro, determinamos os índices de refração:
n1 = 1, n2 = 2
Para polarização s:
Rs = ( sin(thetai - thetat)sin(thetai + thetat) )^2 = ( sin(26,57^circ - 12,92^circ)sin(26,57^circ + 12,92^circ) )^2 approx ( sin(13,65^circ)sin(39,49^circ) )^2 approx 0,12
Para polarização p:
Rp = ( tan(thetai - thetat)tan(thetai + thetat) )^2 = ( tan(13,65^circ)tan(39,49^circ) )^2 approx 0,12
Os coeficientes de transmissão são:
Ts = 1 - Rs approx 0,88
Tp = 1 - Rp approx 0,88

Passo 5

Agora, vamos determinar o campo elétrico total no espaço livre, que é a superposição da onda incidente e da onda refletida. A onda refletida terá a mesma frequência e amplitude ajustada pelo coeficiente de reflexão:
Etotal, livre = Eincidente + Eref<=tida = (10 ay + 5 az) cos(omega t + 2 y -4 z) + R (10 ay + 5 az) cos(omega t + 2 y +4 z)
Considerando R approx 0,12:
Etotal, livre = (10 ay + 5 az) cos(omega t + 2 y -4 z) + 0,12 (10 ay + 5 az) cos(omega t + 2 y +4 z)

Passo 6

Para o dielétrico ( z >= 0), temos apenas a onda transmitida. O campo elétrico transmitido é ajustado pelo coeficiente de transmissão:
Edielétrico = T (10 ay + 5 az) cos(omega t + 2 y -4 z + phi) é
Onde phi é a diferença de fase devido à transmissão. Considerando T approx 0,88:
Edielétrico = 0,88 (10 ay + 5 az) cos(omega t + 2 y -4 z + phi) é

Passo 7

Por fim, vamos calcular o ângulo de Brewster, que ocorre quando o coeficiente de reflexão para polarização p é zero. A condição é:
tan(thetaB) = n2n1 = 21 = 2 Rightarrow thetaB = arctan(2) approx 63,43^circ

Resposta

(a) Os ângulos de incidência e reflexão são aproximadamente 26,57^circ cada, e o ângulo de transmissão é cerca de 12,92^circ.
(b) Os coeficientes de reflexão e transmissão são R approx 0,12 e T approx 0,88.
(c) O campo total E no espaço livre é a soma da onda incidente e refletida:
Etotal, livre = (10 ay + 5 az) cos(omega t + 2 y -4 z) + 0,12 (10 ay + 5 az) cos(omega t + 2 y +4 z)
(d) O campo total E no dielétrico é:
Edielétrico = 0,88 (10 ay + 5 az) cos(omega t + 2 y -4 z + phi) é
(e) O ângulo de Brewster é aproximadamente 63,43^circ.

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