Uma onda EM se propaga no espaço livre com a componente de campo elétrico dada por
. Determine: (a)
e
; (b) o campo magnético; (c) a média temporal da potência transmitida pela onda.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado! A gente tem uma onda eletromagnética (EM) que se propaga no espaço livre, e a componente do campo elétrico
está dada por:
Aqui,
é a frequência angular e
é o comprimento de onda. Para resolver essa questão, vamos precisar entender um pouco sobre ondas eletromagnéticas, campos elétricos e magnéticos, e como calcular a potência transmitida. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício, onde precisamos determinar
e
. Para isso, precisamos identificar a expressão da onda e comparar com a forma geral de uma onda eletromagnética.
Em geral, uma onda eletromagnética no espaço livre pode ser escrita como:
onde:
-
é a amplitude do campo elétrico, -
é a frequência angular, -
é o número de onda, -
é a direção de propagação.
Comparando com o nosso enunciado, percebemos que há uma parte que varia com o tempo (
) e uma parte que varia no espaço (
e
). Parece que a onda está se propagando na direção que envolve
e
.
No entanto, para simplificar, vamos supor que a propagação principal seja ao longo de uma direção específica e identificar
e
a partir dos termos que variam com o tempo e o espaço.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos identificar a frequência angular na expressão do campo elétrico.
Na expressão dada:
O termo
já nos dá
. Porém, como não temos um valor numérico específico, vamos considerar
como a frequência angular que está sendo usada na expressão.
Passo 4
Agora, para encontrar o comprimento de onda
, usamos a relação entre a velocidade da luz
, a frequência
e o comprimento de onda:
Sabendo que
, podemos reescrever a equação como:
Então, uma vez que conhecemos
, podemos calcular
.
Passo 5
Agora vamos para a parte (b) que pede para determinar o campo magnético
. Sabemos que, em ondas eletromagnéticas, os campos elétrico e magnético estão relacionados pela seguinte equação:
onde
é o vetor unitário na direção de propagação da onda e
é a velocidade da luz no vácuo.
Precisamos identificar a direção de propagação e então usar o produto vetorial para encontrar
.
Passo 6
Por fim, na parte (c), vamos calcular a média temporal da potência transmitida pela onda. A potência média por unidade de área (intensidade) de uma onda eletromagnética é dada por:
onde
é a permeabilidade do vácuo. Usaremos essa fórmula para determinar a potência média transmitida.
Resposta
(a) A frequência angular é
e o comprimento de onda é
.
(b) O campo magnético
está relacionado ao campo elétrico
pela relação
.
(c) A média temporal da potência transmitida pela onda é
.