Uma onda EM se propaga no espaço livre com a componente de campo elétrico dada por E= 10 a y+5 a z cos omega t+2 y-4 z V / m. Determine: (a) omega e lambda; (b) o campo magnético; (c) a média temporal da potência transmitida pela onda.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado! A gente tem uma onda eletromagnética (EM) que se propaga no espaço livre, e a componente do campo elétrico E está dada por:
E = (10, ay + 5, az) cos(omega t) + (2, y - 4, z), V/m
Aqui, omega é a frequência angular e lambda é o comprimento de onda. Para resolver essa questão, vamos precisar entender um pouco sobre ondas eletromagnéticas, campos elétricos e magnéticos, e como calcular a potência transmitida. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício, onde precisamos determinar omega e lambda . Para isso, precisamos identificar a expressão da onda e comparar com a forma geral de uma onda eletromagnética.
Em geral, uma onda eletromagnética no espaço livre pode ser escrita como:
E = E0 cos(omega t - k z)
onde:
  • E0 é a amplitude do campo elétrico,
  • omega é a frequência angular,
  • k é o número de onda,
  • z é a direção de propagação.
Comparando com o nosso enunciado, percebemos que há uma parte que varia com o tempo ( cos(omega t) ) e uma parte que varia no espaço ( y e z ). Parece que a onda está se propagando na direção que envolve y e z .
No entanto, para simplificar, vamos supor que a propagação principal seja ao longo de uma direção específica e identificar omega e lambda a partir dos termos que variam com o tempo e o espaço.

Passo 3

Para encontrar omega , precisamos identificar a frequência angular na expressão do campo elétrico.
Na expressão dada:
E = (10, ay + 5, az) cos(omega t) + (2, y - 4, z), V/m
O termo cos(omega t) já nos dá omega . Porém, como não temos um valor numérico específico, vamos considerar omega como a frequência angular que está sendo usada na expressão.

Passo 4

Agora, para encontrar o comprimento de onda lambda , usamos a relação entre a velocidade da luz c , a frequência f e o comprimento de onda:
c = lambda f
Sabendo que omega = 2pi f , podemos reescrever a equação como:
lambda = 2pi comega
Então, uma vez que conhecemos omega , podemos calcular lambda .

Passo 5

Agora vamos para a parte (b) que pede para determinar o campo magnético B . Sabemos que, em ondas eletromagnéticas, os campos elétrico e magnético estão relacionados pela seguinte equação:
B = 1c k times E
onde k é o vetor unitário na direção de propagação da onda e c é a velocidade da luz no vácuo.
Precisamos identificar a direção de propagação e então usar o produto vetorial para encontrar B .

Passo 6

Por fim, na parte (c), vamos calcular a média temporal da potência transmitida pela onda. A potência média por unidade de área (intensidade) de uma onda eletromagnética é dada por:
lang<= S rang<= = 12 E0^2c mu0
onde mu0 é a permeabilidade do vácuo. Usaremos essa fórmula para determinar a potência média transmitida.

Resposta

(a) A frequência angular é omega e o comprimento de onda é lambda = 2pi comega .
(b) O campo magnético B está relacionado ao campo elétrico E pela relação B = 1c k times E .
(c) A média temporal da potência transmitida pela onda é lang<= S rang<= = 12 E0^2c mu0 .

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