Uma onda senoidal progressiva em uma direção
positiva tem amplitude de 15 cm , comprimento de onda de 40 cm e frequência de 8 Hz . A posição vertical do elemento de onda no meio em t=0 e x=0 também é de 15 cm . (a) encontre o número de onda, o período, frequência angular e a velocidade da onda e (b) determine a fase
e escreva a equação para descrever a função dessa onda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma onda senoidal que está viajando na direção positiva de
. Os dados que temos são:
- Amplitude (
): 15 cm - Comprimento de onda (
): 40 cm - Frequência (
): 8 Hz
Também sabemos que no instante
e na posição
, a posição vertical do elemento de onda é 15 cm. Nosso objetivo é:
a) Encontrar o número de onda ( ), o período (
), a frequência angular (
) e a velocidade da onda (
).
b) Determinar a fase ( ) e escrever a equação que descreve a função dessa onda.
a) Encontrar o número de onda (
b) Determinar a fase (
Passo 2
Vamos começar encontrando o número de onda (
). O número de onda nos diz quantas ondas cabem em um comprimento determinado e é dado pela fórmula:
Aqui,
é o comprimento de onda. Como
cm, substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos achar o período (
) da onda. O período é o tempo que leva para uma onda completar um ciclo e está relacionado à frequência pela fórmula:
Com
Hz, temos:
Passo 4
Seguinte, vamos calcular a frequência angular (
). A frequência angular relaciona-se com a frequência e é dada por:
Substituindo
Hz:
Passo 5
Agora, vamos determinar a velocidade da onda (
). A velocidade de propagação de uma onda está relacionada com o comprimento de onda e a frequência pela fórmula:
Com
cm e
Hz:
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). Precisamos determinar a fase (
) e escrever a equação da onda. A equação geral de uma onda senoidal que se propaga na direção positiva de
é:
Sabemos que no instante
e na posição
, a posição vertical
cm, que é igual à amplitude
. Vamos substituir esses valores na equação para encontrar
:
Simplificando:
A solução para essa equação é:
Passo 7
Com todos os valores encontrados, podemos escrever a equação da onda substituindo
,
,
e
:
Resposta
a)
- Número de onda,
- Período,
- Frequência angular,
- Velocidade da onda,
b)
- Fase,
rad - Equação da onda: