Uma onda senoidal progressiva em uma direção x positiva tem amplitude de 15 cm , comprimento de onda de 40 cm e frequência de 8 Hz . A posição vertical do elemento de onda no meio em t=0 e x=0 também é de 15 cm . (a) encontre o número de onda, o período, frequência angular e a velocidade da onda e (b) determine a fase Phi e escreva a equação para descrever a função dessa onda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma onda senoidal que está viajando na direção positiva de x. Os dados que temos são:
  • Amplitude ( A): 15 cm
  • Comprimento de onda ( lambda): 40 cm
  • Frequência ( f): 8 Hz
Também sabemos que no instante t=0 e na posição x=0, a posição vertical do elemento de onda é 15 cm. Nosso objetivo é:
a) Encontrar o número de onda ( k), o período ( T), a frequência angular ( omega) e a velocidade da onda ( v).
b) Determinar a fase ( Phi) e escrever a equação que descreve a função dessa onda.

Passo 2

Vamos começar encontrando o número de onda ( k). O número de onda nos diz quantas ondas cabem em um comprimento determinado e é dado pela fórmula:
k = 2pilambda
Aqui, lambda é o comprimento de onda. Como lambda = 40 cm, substituindo na fórmula:
k = 2pi40 cm = pi20 cm^-1

Passo 3

Agora, vamos achar o período ( T) da onda. O período é o tempo que leva para uma onda completar um ciclo e está relacionado à frequência pela fórmula:
T = 1f
Com f = 8 Hz, temos:
T = 18 Hz = 0,125 segundos ou 125 milissegundos

Passo 4

Seguinte, vamos calcular a frequência angular ( omega). A frequência angular relaciona-se com a frequência e é dada por:
omega = 2pi f
Substituindo f = 8 Hz:
omega = 2pi times 8 = 16pi rad/s

Passo 5

Agora, vamos determinar a velocidade da onda ( v). A velocidade de propagação de uma onda está relacionada com o comprimento de onda e a frequência pela fórmula:
v = lambda f
Com lambda = 40 cm e f = 8 Hz:
v = 40 cm times 8 Hz = 320 cm/s ou 3,2 m/s

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Precisamos determinar a fase ( Phi) e escrever a equação da onda. A equação geral de uma onda senoidal que se propaga na direção positiva de x é:
y(x, t) = A sin(kx - omega t + Phi)
Sabemos que no instante t = 0 e na posição x = 0, a posição vertical y = 15 cm, que é igual à amplitude A. Vamos substituir esses valores na equação para encontrar Phi:
15 cm = 15 cm times sin(0 - 0 + Phi)
Simplificando:
1 = sin(Phi)
A solução para essa equação é:
Phi = pi2 rad

Passo 7

Com todos os valores encontrados, podemos escrever a equação da onda substituindo A, k, omega e Phi:
y(x, t) = 15 cm times sin(pi20x - 16pi t + pi2)

Resposta

a)
  • Número de onda, k = dfracpi20 cm^-1
  • Período, T = 0,125 segundos
  • Frequência angular, omega = 16pi rad/s
  • Velocidade da onda, v = 3,2 m/s
b)
  • Fase, Phi = dfracpi2 rad
  • Equação da onda:
y(x, t) = 15 cm times sin(pi20x - 16pi t + pi2)

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