- Em uma ponte giratória projetada para abrir horizontalmente com rotação, considera-se um modelo simplificado de uma viga de comprimento
massa uniforme
. Ela gira horizontalmente em torno de um eixo vertical fixo em uma das extremidades. Calcule o momento de inércia da viga em relação ao eixo de rotação. Se um torque constante de
for aplicado, quanto tempo levará para a viga atingir
rad de deslocamento angular a partir do repouso?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Calcular o momento de inércia da viga em relação ao eixo de rotação fixo em uma das extremidades.
- Calcular quanto tempo leva para a viga girar
rad a partir do repouso quando é aplicada uma torque constante .
Informações fornecidas:
- Comprimento da viga:
. - Massa da viga (uniforme):
. - Torque aplicado (constante):
. - Deslocamento angular desejado:
. - Condição inicial: partindo do repouso (velocidade angular inicial
).
Passo 2
Vamos calcular o momento de inércia
de uma viga fina e uniforme (modelo de barra) de comprimento
e massa total
, girando em torno de um eixo perpendicular à viga e passando por uma extremidade. Aqui explico a ideia e faço a integral passo a passo.
Conceito: o momento de inércia mede como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação; para um corpo contínuo somamos (integral) cada pequeno elemento de massa multiplicado pelo quadrado da sua distância ao eixo.
Dividimos a viga em pequenos pedaços de comprimento
. A massa linear (massa por unidade de comprimento) é
ou seja, a massa de um pedaço
é
.
Cada pedaço a uma distância
da extremidade (eixo) contribui com
para o momento de inércia. Integrando de
até
temos:
Substituindo
e integrando:
Agora substituímos os valores numéricos
e
:
Portanto,
Passo 3
Com o momento de inércia calculado, relacionamos torque e aceleração angular.
Lei rotacional análoga à segunda lei de Newton: o torque resultante
é igual ao momento de inércia
multiplicado pela aceleração angular
:
Isolando
:
Substituindo
e
:
Observação didática rápida:
é constante porque
e
são constantes aqui — isso facilita muito os cálculos, porque podemos usar as fórmulas do movimento rotacional com aceleração angular constante (análogas ao movimento retilíneo uniformemente acelerado).
Passo 4
Queremos o tempo necessário para que, partindo do repouso (
), a viga atinja
rad sob aceleração angular constante
.
Fórmula do deslocamento angular para aceleração constante a partir do repouso:
Isolando
:
Substituindo
e
:
Calculando numericamente:
logo
Interpretação: com esse torque constante a viga leva cerca de
segundos para completar uma volta (ângulo
) partindo do repouso — note que a velocidade angular final será
.
Passo 5
Resumo dos valores-chave (já calculados nos passos anteriores) e checagem rápida de unidades:
- Momento de inércia:
— fizemos a integral corretamente para uma barra fina. - Aceleração angular:
. - Tempo: em segundos, obtido a partir da equação do movimento angular.
Você já tem o procedimento pronto para usar em outras situações: derive
conforme a geometria, calcule
e use as fórmulas do movimento rotacional para achar tempos, velocidades ou deslocamentos. Força aí — tá bem encaminhado!