1. Em uma ponte giratória projetada para abrir horizontalmente com rotação, considera-se um modelo simplificado de uma viga de comprimento \mathrm{L}=10 \mathrm{~m} \mathrm{e} massa uniforme M=600 \mathrm{~kg}. Ela gira horizontalmente em torno de um eixo vertical fixo em uma das extremidades. Calcule o momento de inércia da viga em relação ao eixo de rotação. Se um torque constante de \tau=1500 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} for aplicado, quanto tempo levará para a viga atingir 2 \pi rad de deslocamento angular a partir do repouso?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Calcular o momento de inércia da viga em relação ao eixo de rotação fixo em uma das extremidades.
  • Calcular quanto tempo leva para a viga girar 2\pi rad a partir do repouso quando é aplicada uma torque constante \tau=1500\\ \mathrm{N\cdot m}.
Informações fornecidas:
  • Comprimento da viga: L=10\\ \mathrm{m}.
  • Massa da viga (uniforme): M=600\\ \mathrm{kg}.
  • Torque aplicado (constante): \tau=1500\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Deslocamento angular desejado: \theta=2\pi\\ \mathrm{rad}.
  • Condição inicial: partindo do repouso (velocidade angular inicial \omega_0=0).

Passo 2

Vamos calcular o momento de inércia (I) de uma viga fina e uniforme (modelo de barra) de comprimento \,L e massa total \,M, girando em torno de um eixo perpendicular à viga e passando por uma extremidade. Aqui explico a ideia e faço a integral passo a passo.
Conceito: o momento de inércia mede como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação; para um corpo contínuo somamos (integral) cada pequeno elemento de massa multiplicado pelo quadrado da sua distância ao eixo.
Dividimos a viga em pequenos pedaços de comprimento dx. A massa linear (massa por unidade de comprimento) é
\lambda=\frac{M}{L},
ou seja, a massa de um pedaço dx é dm=\lambda\,dx.
Cada pedaço a uma distância x da extremidade (eixo) contribui com x^2\,dm para o momento de inércia. Integrando de x=0 até x=L temos:
I=\int_{0}^{L} x^{2}\,dm=\int_{0}^{L} x^{2}\lambda\,dx.
Substituindo \lambda e integrando:
I=\frac{M}{L}\int_{0}^{L} x^{2}\,dx=\frac{M}{L}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{L}=\frac{M}{L}\cdot\frac{L^{3}}{3}=\frac{1}{3}ML^{2}.
Agora substituímos os valores numéricos \,M=600\\ \mathrm{kg} e \,L=10\\ \mathrm{m}:
I=\frac{1}{3}\cdot 600\cdot 10^{2}=\frac{1}{3}\cdot 600\cdot 100= \frac{60000}{3}=20000.
Portanto,
I=20000\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.

Passo 3

Com o momento de inércia calculado, relacionamos torque e aceleração angular.
Lei rotacional análoga à segunda lei de Newton: o torque resultante \tau é igual ao momento de inércia I multiplicado pela aceleração angular \alpha:
\tau=I\alpha.
Isolando \alpha:
\alpha=\frac{\tau}{I}.
Substituindo \tau=1500\\ \mathrm{N\cdot m} e I=20000\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}:
\alpha=\frac{1500}{20000}=0,075\\ \mathrm{rad\cdot s^{-2}}.
Observação didática rápida: \alpha é constante porque \tau e I são constantes aqui — isso facilita muito os cálculos, porque podemos usar as fórmulas do movimento rotacional com aceleração angular constante (análogas ao movimento retilíneo uniformemente acelerado).

Passo 4

Queremos o tempo necessário para que, partindo do repouso ( \omega_{0}=0), a viga atinja \theta=2\pi rad sob aceleração angular constante \alpha.
Fórmula do deslocamento angular para aceleração constante a partir do repouso:
\theta=\tfrac{1}{2}\alpha t^{2}.
Isolando t:
t=\sqrt{\frac{2\theta}{\alpha}}.
Substituindo \theta=2\pi e \alpha=0,075\\ \mathrm{rad\cdot s^{-2}}:
t=\sqrt{\frac{2\cdot 2\pi}{0,075}}=\sqrt{\frac{4\pi}{0,075}}.
Calculando numericamente:
4\pi\approx 12,5663706\quad\Rightarrow\quad \frac{4\pi}{0,075}\approx 167,551608,
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t\approx \sqrt{167,551608}\approx 12,95\\ \mathrm{s}.
Interpretação: com esse torque constante a viga leva cerca de 13 segundos para completar uma volta (ângulo 2\pi) partindo do repouso — note que a velocidade angular final será \omega=\alpha t\approx 0,075\cdot 12,95\approx 0,97\\ \mathrm{rad\cdot s^{-1}}.

Passo 5

Resumo dos valores-chave (já calculados nos passos anteriores) e checagem rápida de unidades:
  • Momento de inércia: \mathrm{kg\cdot m^{2}} — fizemos a integral corretamente para uma barra fina.
  • Aceleração angular: \mathrm{rad\cdot s^{-2}}.
  • Tempo: em segundos, obtido a partir da equação do movimento angular.
Você já tem o procedimento pronto para usar em outras situações: derive I conforme a geometria, calcule \alpha=\tau/I e use as fórmulas do movimento rotacional para achar tempos, velocidades ou deslocamentos. Força aí — tá bem encaminhado!

Resposta

I=20000\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}
t\approx 12,95\\ \mathrm{s}

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