Uma onda senoidal transversal se propaga em corda no sentido positivo de um eixo x com uma velocidade de 80 m/s. No instante t = 0 s, uma partícula situada em x = 0 possui um deslocamento transversal de 4 cm em relação à posição de equilíbrio e não está se movendo. A velocidade máxima da partícula situada em x = 0 é 16 m/s. Qual é a frequência da onda? A B C D E 480 rad/s 360 rad/s 240 rad/s 420 rad/s 400 rad/s
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma onda senoidal que se propaga numa corda com velocidade de 80 m/s. No instante inicial (t = 0), a partícula em x = 0 está deslocada 4 cm, mas não está se movendo. Além disso, a velocidade máxima dessa partícula é 16 m/s. Nosso objetivo aqui é encontrar a frequência da onda. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de ondas senoidais, como equação da onda, amplitude, frequência angular e velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação geral de uma onda senoidal transversal que se propaga na direção positiva do eixo x:
Aqui:
- $ A $ é a amplitude da onda,
- $ k $ é o número de onda,
- $ \omega $ é a frequência angular,
- $ \phi $ é a fase inicial.
Passo 3
Vamos aplicar as condições iniciais dadas:
- Deslocamento inicial: No instante $ t = 0 $ e na posição $ x = 0 $, o deslocamento $ y = 4 $ cm = 0,04 m. Substituindo na equação da onda:
- Velocidade inicial: A velocidade da partícula é a derivada da posição em relação ao tempo. Portanto:
No instante $ t = 0 $ e $ x = 0 $, a velocidade é zero:
Isso implica que $ \sin(\phi) = 0 $. Então, $ \phi $ pode ser 0 ou $ \pi $.
Vamos assumir $ \phi = 0 $ para simplificar, então:
Passo 4
Sabemos que a velocidade máxima da partícula é dada por:
Dado que $ v_{máx} = 16 $ m/s e $ A = 0,04 $ m, podemos resolver para $ \omega $:
Passo 5
Pronto! Encontramos que a frequência angular $ \omega $ da onda é de 400 rad/s.
Resposta
A frequência da onda é 400 rad/s (Alternativa E).