Um paralelepípedo de alumínio ( a_{\mathrm{al}}=24 \times 10^{-6} \mathrm{C}^{-1}) tem, a 20 °C, arestas iguais a 1,000 \mathrm{~cm} ; 1,500 \mathrm{~cm} e 2,000 cm. Qual será o seu volume a -10^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado descreve um paralelepípedo de alumínio com coeficiente de expansão linear \alpha_{\mathrm{al}}=24\times10^{-6}\,\mathrm{K}^{-1}. A 20\circC as arestas medem 1\,000\,\mathrm{cm}, 1\,500\,\mathrm{cm} e 2\,000\,\mathrm{cm}, e queremos o volume desse sólido a -10 \circC.

Passo 2

Para um sólido isotrópico a variação volumétrica é dada por \beta\approx3\alpha, onde \alpha é o coeficiente de expansão linear e \beta o coeficiente de expansão volumétrica. Assim, para uma transformação de temperatura de T_0 para T:
V(T)=V_0\bigl[1+\beta\,(T-T_0)\bigr]
com \beta=3\alpha.

Passo 3

Calculamos o volume inicial a 20\circC como produto das arestas:
V_0 = (1\,000)(1\,500)(2\,000)\,\mathrm{cm^3} =3{,}000\times10^9\,\mathrm{cm^3}.

Passo 4

A variação de temperatura é
\Delta T = T - T_0 = (-10) - 20 = -30\;^\circ\mathrm{C},
e \beta=3\alpha=3\cdot24\times10^{-6}=72\times10^{-6}\,\mathrm{K}^{-1}. Logo,
V(-10^\circ\mathrm{C}) =V_0\bigl[1+\beta\,\Delta T\bigr] =3{,}000\times10^9 \bigl[1+72\times10^{-6}\cdot(-30)\bigr].

Passo 5

Calculando o fator de correção:
72\times10^{-6}\cdot(-30)=-2{,}16\times10^{-3},
então
V(-10^\circ\mathrm{C}) =3{,}000\times10^9\,(1 -0{,}00216) \approx2{,}99352\times10^9\,\mathrm{cm^3}.

Resposta

O volume a -10 \circC é aproximadamente
2{,}994\times10^9\\ \mathrm{cm^3}.

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