integral triplaW(1+raizx^2+y^2) d x d y d z, onde:
W=(x, y, z) in R^3 / raizx^2+y^2 <= z <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o triplo integral
integral triplaWl(1+raizx^2+y^2r),dx,dy,dz
sobre a região
W = (x,y,z)inR^3 mid raizx^2+y^2<= z<= 1
O conteúdo principal aqui é usar coordenadas cilíndricas (r,theta,z), pois a desigualdade raizx^2+y^2<= z sugere facilmente r<= z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
com elemento de volume dV = r,dr,dtheta,dz. A região fica descrita por
0 <= theta <= 2pi, 0 <= r <= 1, r <= z <= 1

Passo 3

Na integral, raizx^2+y^2=r, logo o integrando vira 1+r. Substituindo tudo:
integral triplaW(1+raizx^2+y^2),dV = integral0^2pi!integral0^1!integralz=r^1(1+r),r,dz,dr,dtheta
Primeiro integramos em z:
integralz=r^1(1+r),r,dz = (1+r),r,l[,zr]z=r^1 = (1+r),r,(1-r)

Passo 4

Fica então
integral0^2pi!integral0^1(1+r),r,(1-r),dr,dtheta = 2piintegral0^1r,(1+r),(1-r),dr
Expandindo (1+r)(1-r)=1-r^2 temos
2piintegral0^1l(r - r^3r),dr =2pil[tfracr^22-tfracr^44r]0^1 =2pil(tfrac12-tfrac14r) =2picdottfrac14 =tfracpi2

Resposta

pi2

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