Nos problemas a seguir, determine a integral usando frações parciais e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A gente vai usar frações parciais, que é uma técnica para simplificar frações com polinômios no numerador e no denominador. Basicamente, a ideia é quebrar a fração complicada em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fração
como a soma de duas frações com denominadores
e
. Ou seja:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Passo 4
Agora, vamos expandir os termos do lado direito:
Juntando os termos semelhantes, fica:
Passo 5
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, igualamos os coeficientes de
e os termos constantes:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Passo 6
Temos agora um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar
em função de
:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo
na primeira equação:
Passo 7
Com os valores de
e
encontrados, podemos reescrever a fração original:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 9
Usando a fórmula básica da integral
, temos: