Nos problemas a seguir, determine a integral usando frações parciais e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
integral x-9(x+5)(x-2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral x-9(x+5)(x-2) , dx. A gente vai usar frações parciais, que é uma técnica para simplificar frações com polinômios no numerador e no denominador. Basicamente, a ideia é quebrar a fração complicada em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração x-9(x+5)(x-2) como a soma de duas frações com denominadores (x + 5) e (x - 2). Ou seja:
x-9(x+5)(x-2) = Ax+5 + Bx-2
Aqui, A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar A e B, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum (x+5)(x-2) para eliminar as frações:
x - 9 = A(x - 2) + B(x + 5)

Passo 4

Agora, vamos expandir os termos do lado direito:
x - 9 = A x - 2A + B x + 5B
Juntando os termos semelhantes, fica:
x - 9 = (A + B)x + (-2A + 5B)

Passo 5

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de x, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, igualamos os coeficientes de x e os termos constantes:
  1. Coeficiente de x:
1 = A + B
  1. Termo constante:
-9 = -2A + 5B

Passo 6

Temos agora um sistema de equações:
  1. A + B = 1
  2. -2A + 5B = -9
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar A em função de B:
A = 1 - B
Substituindo na segunda equação:
-2(1 - B) + 5B = -9 -2 + 2B + 5B = -9 7B = -7 B = -1
Agora, substituindo B = -1 na primeira equação:
A + (-1) = 1 A = 2

Passo 7

Com os valores de A e B encontrados, podemos reescrever a fração original:
x-9(x+5)(x-2) = 2x+5 - 1x-2

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2x+5 , dx - integral 1x-2 , dx

Passo 9

Usando a fórmula básica da integral integral 1x , dx = ln|x| + C, temos:
2 ln|x + 5| - ln|x - 2| + C

Resposta

integral x-9(x+5)(x-2) , dx = 2 ln|x + 5| - ln|x - 2| + C

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