1. integral triplaW(x^2+y^2) d x d y d z, onde W é o cone raizx^2+y^2 <= z <= 1.
  2. integral triplaW(1+raizx^2+y^2) d x d y d z, onde:
W=(x, y, z) in R^3 / raizx^2+y^2 <= z <= 1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
integral triplaW(x^2+y^2),dx,dy,dz
onde W é o cone raizx^2+y^2<= z<=1. Esta é uma integral tripla; vamos usar coordenadas cilíndricas, pois a região é descrita naturalmente por r,theta,z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, temos x^2+y^2=r^2 e o elemento de volume dV=r,dr,dtheta,dz. A descrição da região vira
0<=theta<=2pi,0<= z<=1,0<= r<= z
Logo,
integral triplaW(x^2+y^2),dV =integral0^2pi!integral0^1!integral0^zr^2cdot r,dr,dz,dtheta

Passo 3

Calculemos primeiro a integral em r:
integral0^zr^3,dr =z^44
Substituindo, obtemos
integral0^2pidthetaintegral0^1z^44,dz =2picdot14integral0^1z^4,dz

Passo 4

Como
integral0^1z^4,dz=15,
segue
2picdot14cdot15 =2pi20 =pi10

Passo 5

Agora o enunciado pede
integral triplaWl(1+raizx^2+y^2r),dx,dy,dz
no mesmo cone W. Vamos de novo usar coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Em coordenadas cilíndricas, raizx^2+y^2=r e dV=r,dr,dtheta,dz, com
0<=theta<=2pi,0<= z<=1,0<= r<= z
Então
integral triplaW(1+r),dV =integral0^2pi!integral0^1!integral0^z(1+r),r,dr,dz,dtheta

Passo 7

Calcule a integral em r:
integral0^z(r+r^2),dr =[r^22+r^33]0^z =z^22+z^33

Passo 8

Integramos em z e theta:
integral0^2pidthetaintegral0^1l(z^22+z^33r)dz =2pil[tfrac12cdottfrac13+tfrac13cdottfrac14r] =2pil(tfrac16+tfrac112r) =2picdottfrac14 =pi2

Resposta

pi2

Exercícios relacionados