integral triplaW(x^2+y^2+z^2) d x d y d z, onde W=(x, y, z) in R^3 / x^2+y^2+z^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral triplaWl(x^2+y^2+z^2r),dx,dy,dz,
onde W é a bola de raio 1 centrada na origem, isto é,
W = (x,y,z)inR^3 mid x^2+y^2+z^2<=1
O conteúdo principal aqui é integrar em coordenadas esféricas, pois a região é uma bola e o integrando depende apenas de r^2=x^2+y^2+z^2.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos
x = rsinvarphicostheta, y = rsinvarphisintheta, z = rcosvarphi,
com Jacobiano dV = r^2sinvarphi,dr,dvarphi,dtheta. Além disso o integrando fica
x^2+y^2+z^2 = r^2
Os limites são
0<= r<=1, 0<=varphi<=pi, 0<=theta<=2pi

Passo 3

Substituindo tudo na integral:
integral triplaW(x^2+y^2+z^2),dV = integral0^2pi!!dtheta integral0^pi!!sinvarphi,dvarphi integral0^1r^2l(r^2r),dr = l(integral0^2pidthetar) l(integral0^pisinvarphi,dvarphir) l(integral0^1r^4,drr)
Calculando cada parte:
integral0^2pidtheta = 2pi, integral0^pisinvarphi,dvarphi = 2, integral0^1r^4,dr = 15
Multiplicando:
2pi times 2 times 15 = 4pi5

Resposta

4pi5

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