Nos problemas a seguir, determine a integral usando frações parciais e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
integral 2 x+3(x+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral
integral 2x+3(x+1)^2,dx
usando frações parciais e depois verifique o resultado derivando-o. O conteúdo aqui é integração de função racional por decomposição em frações simples.

Passo 2

Decompomos
2x+3(x+1)^2 = Ax+1 + B(x+1)^2
Multiplicando ambos os lados por (x+1)^2, obtemos
2x+3 = A(x+1) + B = A x + A + B
Igualando coeficientes de x e termo constante:
A = 2, A + B = 3 ;Rightarrow; 2 + B = 3 ;Rightarrow; B = 1

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral 2x+3(x+1)^2,dx = integral l(2x+1 + 1(x+1)^2r),dx
Agora integramos termo a termo:
integral 2x+1,dx = 2lnlvert x+1rvert, integral 1(x+1)^2,dx = integral (x+1)^-2,dx = -1x+1
Logo,
integral 2x+3(x+1)^2,dx = 2lnlvert x+1rvert - 1x+1 + C

Passo 4

Para verificar, derivamos o resultado:
ddxl(2lnlvert x+1rvert - tfrac1x+1r) = 2x+1 + 1(x+1)^2 = 2(x+1) + 1(x+1)^2 = 2x+3(x+1)^2,
que coincide com o integrando inicial.

Resposta

integral 2x+3(x+1)^2,dx = 2lnlvert x+1rvert - 1x+1 + C

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