Nos problemas a seguir, determine a integral usando frações parciais e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
integral r^2r+4 d r

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral r^2r+4 , dr usando frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente técnicas de integração. Para isso, vamos precisar dividir os polinômios e depois aplicar a decomposição em frações parciais para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador ( r^2) é maior ou igual ao grau do denominador ( r+4). Nesses casos, é necessário fazer uma divisão polinomial antes de aplicar as frações parciais.
Vamos dividir r^2 por r + 4:
r^2r + 4 = r - 4 + 16r + 4
Isso significa que:
r^2r + 4 = r - 4 + 16r + 4

Passo 3

Agora, a integral fica mais simples de resolver separando em três partes:
integral r^2r + 4 , dr = integral r , dr - integral 4 , dr + integral 16r + 4 , dr
Vamos integrar cada termo:
  1. integral r , dr = r^22
  2. integral 4 , dr = 4r
  3. integral 16r + 4 , dr = 16 ln|r + 4|

Passo 4

Juntando as integrais:
r^22 - 4r + 16 ln|r + 4| + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

integral r^2r + 4 , dr = r^22 - 4r + 16 ln|r + 4| + C

Exercícios relacionados