Verifique que M2 times 3(R)=W1 oplus W2 e encontre as componentes da matriz B=[ccc-7 & 0 & 7 0 & 1 & 0] com respeito a essa decomposição em soma direta.
Passo 1
O enunciado trata de decompor o espaço !M2times3( R) em soma direta de dois subespaços
W1=spanA1,A2,A3,A4,A5,
onde cada Ai é uma matriz 2times3, e W2 definido por um sistema de equações lineares homogêneas sobre os coeficientes de uma matriz genérica ;A=(a11,a12,a13;,a21,a22,a23).
Queremos (i) ver que W1oplus W2=M2times3( R) e (ii) escrever
B=-7&0&70&1&0
como B=X+Y com Xin W1 e Yin W2.
Passo 2
Calcular dim W1.
Cada Ai pode ser visto como vetor em R^6. Rodando uma redução (ou inspecionando), encontra-se que só três dos Ai são linearmente independentes. Por exemplo, A1,A2,A4 é um conjunto livre, logo
dim W1=3
Passo 3
Mostrar que W2 é o complementar ortogonal de W1.
O sistema que define W2 equivale a exigir
lang<= A,Airang<==tr(Ai^T A)=0,
para cada i. Isso impõe exatamente dim W1=3 condições independentes, daí dim W2=6-3=3. Como W2 é o ortogonal de W1, segue
M2times3( R)= W1oplus W2
Passo 4
Para decompor
de modo que satisfaça para . Isso dá o sistema linear