• W1=>=r[A1, A2, A3, A4, A5], onde
A1=[ccc 1 & 1 & 3 -3 & 0 & 3 ], A2=[ccc 0 & 2 & 2 -4 & 0 & 2 ], A3=[ccc 2 & 1 & 5 -4 & 0 & 5 ] A4=[ccc 3 & 0 & 4 -1 & 0 & 4 ], A5=[ccc 0 & 1 & 2 -3 & 0 & 2 ]
  • W2 é formado pelas matrizes A=[llla11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23] cujos coeficientes satisfazem as relações:
rll a11+a12 & +3 a13-3 a21 & +3 a23=0 2 a12 & +2 a13-4 a21 & +2 a23=0 2 a11 & +a12 & +5 a13-4 a21 & +4 a23-3 a21 & +4 a23=0 3 a11 & +2 a13-3 a21 & +2 a23=0
Verifique que M2 times 3(R)=W1 oplus W2 e encontre as componentes da matriz B= [ccc-7 & 0 & 7 0 & 1 & 0] com respeito a essa decomposição em soma direta.

Passo 1

O enunciado trata de decompor o espaço !M2times3( R) em soma direta de dois subespaços
W1=spanA1,A2,A3,A4,A5,
onde cada Ai é uma matriz 2times3, e
W2 definido por um sistema de equações lineares homogêneas sobre os coeficientes de uma matriz genérica
;A=(a11,a12,a13;,a21,a22,a23).
Queremos (i) ver que W1oplus W2=M2times3( R) e (ii) escrever
B=-7&0&70&1&0
como B=X+Y com Xin W1 e Yin W2.

Passo 2

Calcular dim W1.
Cada Ai pode ser visto como vetor em R^6. Rodando uma redução (ou inspecionando), encontra-se que só três dos Ai são linearmente independentes. Por exemplo,
A1,A2,A4 é um conjunto livre, logo
dim W1=3

Passo 3

Mostrar que W2 é o complementar ortogonal de W1.
O sistema que define W2 equivale a exigir
lang<= A,Airang<==tr(Ai^T A)=0,
para cada i. Isso impõe exatamente dim W1=3 condições independentes, daí
dim W2=6-3=3. Como W2 é o ortogonal de W1, segue
M2times3( R)= W1oplus W2

Passo 4

Para decompor
de modo que satisfaça para . Isso dá o sistema linear
onde .

Passo 5

Resolvendo esse sistema obtém-se
x1 = tfrac312, x2 = -tfrac374, x4 = -tfrac132
Substituindo em X e calculando
Y = B - X,
chegamos aos componentes desejados.

Resposta

XinW1 e YinW2 são
X = -4 & -3 & 2 [6pt] -3 & 0 & 2, Y = -3 & 3 & 5 [6pt] 3 & 1 & -2,
e de fato
B = X + Y ]

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